高考数学集合总复习-空间几何体的表面积与体积自主梳理.docx

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1、空间几何体的表面积与体积自主梳理1．(1)ch　(2)nah′　ch′　(3)n(a＋a′)h′　(c＋c′)h′　(4)4πR2　2.(1)Sh　(2)Sh　(3)h(S＋＋S′)　(4)πR3自我检测1．D　[由题意，S△ABC＝，三棱锥的高h＝3，∴V三棱锥P—ABC＝Sh＝.]2．A　[设正方体棱长为a，则正四面体棱长AB＝a，∴S正四面体表＝4××(a)2＝2a2.∵S正方体表＝6a2，∴四面体的表面积与正方体表面积的比为∶3.]3．C4.D　[据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如图所示，

2、故该几何体的表面积为S＝S圆柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π.]5．A　[由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－×π×2＝8－，故选A.]课堂活动区例1　解题导引　对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高．解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：在已知棱柱高的条件下，用线面垂直⇒线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高．解　如图，过点A1作A1O⊥面ABC于点O，连接AO.过点A1作A1E⊥AB于点E，过点A

3、1作A1F⊥AC于点F，连接EO，FO，易得OE⊥AB，OF⊥AC，∵AA1和AB与AC都成60°角，∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1F.∵A1O⊥面ABC，∴EO＝FO.∴点O在∠BAC的角平分线上，延长AO交BC于点D，∵△ABC是正三角形，∴BC⊥AD.∴BC⊥AA1.∵AA1∥BB1，∴侧面BB1C1C是矩形，∴三棱柱的侧面积为S＝2×3×4×sin60°＋3×4＝12＋12.∵AA1＝3，AA1与AB和AC都成60°角，∴AE＝.∵∠BAO＝30°，∴AO＝，A1O＝.∴三棱柱的体积为

4、V＝×16×＝12.变式迁移1　2＋4解析　如图所示，设D为BC的中点，连接A1D，AD.∵△ABC为等边三角形，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面A1AD，∴BC⊥A1A，又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1B，又∵侧面与底面边长都等于2，∴四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作DE⊥AB于E，连接A1E，则AB⊥A1E，又∵AD＝＝，DE＝＝，∴AE＝＝，∴A1E＝＝，∴S四边形ABB1A1＝，∴S三棱柱侧＝2＋4.例2　解题导引　解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然

5、后利用有关公式进行计算．求全面积时不要忘记“内表面”．解　如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝πR2＋πR2＝πR2，∴旋转所得到的几何体的表面积为πR2.又V球＝πR3，V圆锥AO1＝·AO1·πCO＝πR2·AO1，V圆锥BO1＝BO1·πCO＝πR2·BO1，∴V几

6、何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝πR3－πR3＝πR3.变式迁移2　20π解析　在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2，由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径r＝2，设此圆圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，易得球半径R＝，故此球的表面积为4πR2＝20π.例3　解题导引　本题可将长方体表面展开，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．解　将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示．三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：＝，＝，＝，∵a>b>c>0，

7、∴ab>ac>bc>0.故最短线路的长为.变式迁移3　5解析　将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图所示．连接A1C即为CP＋PA1的最小值，过点C作CD垂直A1C1延长线交于D，△BCC1为等腰直角三角形，∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7.∴A1C＝＝＝5.课后练习区1．C　[由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为＝.所以S表

8、＝42＋2×4＋×(2＋4)×4×2＋4××2＝48＋8.]2．D　[由πR3＝，∴R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4.∴V＝×(4)2×4＝48.]3．D　4.B5．C　[将三视图还原成几何体的直观图如图所示．它的四个面的面积分别为8,6,10,6，故最大的面积应为10.6．6解析　取底面中心为O，AF中点为M，连接PO、OM、PM、AO，则PO⊥OM，OM⊥AF，PM⊥AF，∵OA＝OP＝2，∴OM＝，