高等数学基本公式概念和方法.doc

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1、高等数学基本公式、概念和方法一．函数1．函数定义域由以下几点确定（１）（２）（其中n为正整数）（３）。（４）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．（５）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定．2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．（１）若是偶函数，若是奇函数．（２）若的图象关于y轴对称，则函数是偶函数．如等。若的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如３．将函数分解成几个简单函数的合成．由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一

2、层关系．二．极限与连续1．主要概念和计算方法：（１）．（２）．若（极限过程不限），则当时为无穷小量。（3）．若，则函数在处是连续的。即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。若上述三条至少一条不满足，则是函数的间段点。（4）．间断点的分类：设是函数的间断点若左、右极限均存在，则称为第一类间断点。若左、右极限至少有一个是无穷大，则称为第二类间断点。（5）．重要公式：条件（极限过程不限）结论《１》；《２》2．求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）（１）定式：直接得结论（即常数Ｃ

3、、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。（２）不定式：（Ａ）型：消去零因子或用公式《１》。（Ｂ）型：约去因子，使之变成定式。（Ｃ）型：用公式《２》。（Ｄ）型：取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。（Ｅ）型：通分或有理化，使之转化成其它类型。注：《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。三．导数（一）基本概念1．导数值：，也可以记作。2．导数的几何意义：就是曲线在点处切线的斜率k，其切线的方程是：，法线方程：。3.函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。（二）．导数基

4、本公式：1．2。3。4。5。6．7。8。9。（三）微分法（设u和v都是x的函数）1．用定义求导数或导函数。2．3．；4．5．设复合函数，则6．设由隐函数确定，则，也可以直接对方程求导数。7．对于单项式可以用取对数法求导数。对于幂指函数必须用取对数法求导数。8．设参数方程，则9．微分：10．反函数的导数：附：函数在一点处几个概念之间的关系图有定义（函数值存在）有极限连续（极限值等于函数值）可导（可微）四．中值定理与导数应用1．拉格朗日中值定理：条件：函数在[a,b]上连续，在（a,b）内可导结论：至少存在一点。３．洛

5、必塔法则适用于型极限，注意四种失效题型：3．单调性：若在（a,b）内在（a,b）内单调递增。若在（a,b）内在（a,b）内单调递减。a)极值存在的必要条件：若（为驻点）b)极值存在的充分条件：设函数在a点连续，则：在a点左右函数的导数由正变负a点为函数的极大值点。在a点左右函数的导数由负变正a点为函数的极小值点。c)判断曲线凹凸的方法：若在(a,b)内>0，则曲线在（a,b）内上凹。如等。若在(a,b)内<0，则曲线在（a,b）内下凹。如等。１．曲线拐点的求法：设a为函数的连续点，若函数在a点处二阶导数变号，则曲线

6、上的点（a,f(a)）为曲线的拐点。２．求渐近线的方法：若，则x=a为曲线的垂直渐近线。若，则y=b为曲线的水平渐近线。３．极值应用：i.画图、设变量x，并将其余变量用x表示。ii.建立函数关系，并写出定义域。iii.求函数的一阶导数，找出驻点。iv.说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。五．不定积分1．原函数：在某区间内，若在任一点处均有，则称F（x）是的一个原函数。2．若有原函数F（x），则F（x）+C表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。3．若有原函数F（x），则的不定积分可表示为。4．不定积分

7、的几何意义表示在x点处切线斜率均为的一族曲线。5．基本积分公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）6.积分性质（1）（2）（3）（4）7．计算方法（1）直接积分法：先对被积函数进行化简、变形，应用性质，再直接用公式。（2）第一换元法：对简单的题目用凑微分法一般地可以用代换设的导数连续，则。（１）分部积分法：，要用算式。选u的顺序：反、对、幂、三、指、常。（２）简单的有理函数积分：拆项法、大除法和待定系数法。六．定积分1．定积分特点：（1）定积分是一个数，与积分变量无关。（2

8、）被积函数连续是可积的充分条件。（3）被积函数有界是可积的必要条件。2．定积分的几何意义（1）设，则表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形面积。（2）设，则表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形的负面积。（3）若的符号不定，则表示面积的代数和。由此得到对称区间上的奇函数积分为0，即，其中函数是奇函数。1．主要性质（1）。（2）。（