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时间:2020-11-04
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1、高等数学基本公式、概念和方法一.函数1.函数定义域由以下几点确定(1)(2)(其中n为正整数)(3)。(4)函数代数和的定义域,取其定义域的交集.(5)对具有实际意义的函数,定义域由问题特点而定.2.判断函数的奇偶性,依据以下两点确定,否则函数为非奇非偶的.(1)若是偶函数,若是奇函数.(2)若的图象关于y轴对称,则函数是偶函数.如等。若的图象关于坐标原点对称,则函数是奇函数.如3.将函数分解成几个简单函数的合成.由六类基本初等函数的形式,对要分解的函数,由外层到内层,分别设出关系.函数与常数的四则运算,不必另设一
2、层关系.二.极限与连续1.主要概念和计算方法:(1).(2).若(极限过程不限),则当时为无穷小量。(3).若,则函数在处是连续的。即(1)函数值存在、(2)极限存在、(3)极限值和函数值相等。若上述三条至少一条不满足,则是函数的间段点。(4).间断点的分类:设是函数的间断点若左、右极限均存在,则称为第一类间断点。若左、右极限至少有一个是无穷大,则称为第二类间断点。(5).重要公式:条件(极限过程不限)结论《1》;《2》2.求极限的方法:先判断极限类型(依据基本初等函数图象和函数值)(1)定式:直接得结论(即常数C
3、、不存在:无穷大、震荡、左极限不等于右极限)。(2)不定式:(A)型:消去零因子或用公式《1》。(B)型:约去因子,使之变成定式。(C)型:用公式《2》。(D)型:取简单的翻到分母上,转化成《A》或《B》。(E)型:通分或有理化,使之转化成其它类型。注:《A》和《B》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。三.导数(一)基本概念1.导数值:,也可以记作。2.导数的几何意义:就是曲线在点处切线的斜率k,其切线的方程是:,法线方程:。3.函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系(见关系图)。(二).导数基
4、本公式:1.2。3。4。5。6.7。8。9。(三)微分法(设u和v都是x的函数)1.用定义求导数或导函数。2.3.;4.5.设复合函数,则6.设由隐函数确定,则,也可以直接对方程求导数。7.对于单项式可以用取对数法求导数。对于幂指函数必须用取对数法求导数。8.设参数方程,则9.微分:10.反函数的导数:附:函数在一点处几个概念之间的关系图有定义(函数值存在)有极限连续(极限值等于函数值)可导(可微)四.中值定理与导数应用1.拉格朗日中值定理:条件:函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导结论:至少存在一点。3.洛
5、必塔法则适用于型极限,注意四种失效题型:3.单调性:若在(a,b)内在(a,b)内单调递增。若在(a,b)内在(a,b)内单调递减。a)极值存在的必要条件:若(为驻点)b)极值存在的充分条件:设函数在a点连续,则:在a点左右函数的导数由正变负a点为函数的极大值点。在a点左右函数的导数由负变正a点为函数的极小值点。c)判断曲线凹凸的方法:若在(a,b)内>0,则曲线在(a,b)内上凹。如等。若在(a,b)内<0,则曲线在(a,b)内下凹。如等。1.曲线拐点的求法:设a为函数的连续点,若函数在a点处二阶导数变号,则曲线
6、上的点(a,f(a))为曲线的拐点。2.求渐近线的方法:若,则x=a为曲线的垂直渐近线。若,则y=b为曲线的水平渐近线。3.极值应用:i.画图、设变量x,并将其余变量用x表示。ii.建立函数关系,并写出定义域。iii.求函数的一阶导数,找出驻点。iv.说明驻点是最值点的理由,,并回答其它问题。五.不定积分1.原函数:在某区间内,若在任一点处均有,则称F(x)是的一个原函数。2.若有原函数F(x),则F(x)+C表示全体原函数,且任意两个原函数仅相差一个常数。3.若有原函数F(x),则的不定积分可表示为。4.不定积分
7、的几何意义表示在x点处切线斜率均为的一族曲线。5.基本积分公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)6.积分性质(1)(2)(3)(4)7.计算方法(1)直接积分法:先对被积函数进行化简、变形,应用性质,再直接用公式。(2)第一换元法:对简单的题目用凑微分法一般地可以用代换设的导数连续,则。(1)分部积分法:,要用算式。选u的顺序:反、对、幂、三、指、常。(2)简单的有理函数积分:拆项法、大除法和待定系数法。六.定积分1.定积分特点:(1)定积分是一个数,与积分变量无关。(2
8、)被积函数连续是可积的充分条件。(3)被积函数有界是可积的必要条件。2.定积分的几何意义(1)设,则表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形面积。(2)设,则表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形的负面积。(3)若的符号不定,则表示面积的代数和。由此得到对称区间上的奇函数积分为0,即,其中函数是奇函数。1.主要性质(1)。(2)。(
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