高等数学重点、概念和方法.doc

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1、高等数学重点、概念和方法导数基本概念1．导数值：，也可以记作2．导数的几何意义：就是曲线在点处切线的斜率k，其切线的方程是：，法线方程：3.函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。附：函数在一点处几个概念之间的关系图可导（可微）连续（极限值等于函数值）有极限有定义（函数值存在）中值定理与导数应用1.罗尔中值定理条件：函数在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且结论：至少存在一点2．拉格朗日中值定理条件：函数在[a，b]上连续，在（a，b）内可导结论：至少存在一点53．曲线拐点的求法：设a为函数的连续点，若函数在a点处二阶导数变号，则曲线上的点（

2、a，f(a)）为曲线的拐点。4.求渐近线的方法：若，则x=a为曲线的垂直渐近线。若，则y=b为曲线的水平渐近线。5.极值应用：i.画图、设变量x，并将其余变量用x表示。ii.建立函数关系，并写出定义域。iii.求函数的一阶导数，找出驻点。iv.说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。不定积分1．原函数：在某区间内，若在任一点处均有，则称F（x）是的一个原函数。2．若有原函数F（x），则F（x）+C表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。3．若有原函数F（x），则的不定积分可表示为。4．不定积分的几何意义表示在x点处切线斜率均为的一族曲线。5．基本积分公式

3、（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）(13)（14）6.积分性质（1）（2）5（3）（4）7．计算方法（1）直接积分法：先对被积函数进行化简、变形，应用性质，再直接用公式。（2）第一换元法：对简单的题目用凑微分法一般地可以用代换设的导数连续，则。（3）第二换元法：主要是消去被积函数中的等因子，见P286。（4）分部积分法：，要用算式。选u的顺序：反、对、幂、三、指、常。（5）简单的有理函数积分：拆项法、大除法和待定系数法。定积分1．定积分特点：（1）定积分是一个数，与积分变量无关。（2）被积函数连续是可积的充分条件。（3）

4、被积函数有界是可积的必要条件。2．定积分的几何意义：（1）设，则表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形面积。（2）设，则表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形的负面积。（3）若的符号不定，则表示面积的代数和。由此得到对称区间上的奇函数积分为0，即，其中函数是奇函数。3．主要性质：（1）。（2）。（3）。51．变上限定积分的求导法：。2．牛顿---莱布尼兹公式：条件：设在区间[a,b]上连续，F(x)是的一个原函数结论：=F（b）--F(a)6.广义积分：设在区间[a，上连续，曲b>a，则在区间（，b）上类似定义。7．几个结论：设是偶函数

5、：设是奇函数：。8．求定积分的方法：（1）利用几何意义（画出对应的图形）。（2）直接用牛顿---莱布尼兹公式（结合性质和几个结论）。（3）先求对应的不定积分，在用牛顿---莱布尼兹公式（注意函数的连续性）。（4）用定积分的换元法和分部法（换元必须换限）。9．定积分应用：（1）求平面图形的面积先画出这块面积，用阴影表示出。用定积分表示面积，再求出其值。（2）求平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积绕x轴：v=。绕y轴：v=微分方程1．可分离变量：2．一阶线性的：附1。几种等价写法53．常用公式4.对数5