高中数学教参——二次函数和幂函数.doc

《高中数学教参——二次函数和幂函数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1．二次函数的解析式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象和性质a>0a<0图象定义域x∈R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－；②顶点：[探究]　1.ax2＋bx＋c>0(a≠0)

2、与ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件分别是什么？其几何意义如何？提示：(1)ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是其几何意义是抛物线恒在x轴上方；(2)ax2＋bx＋c<0恒成立的充要条件是，其几何意义是抛物线恒在x轴下方．3．幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．4．五种幂函数的图象5．五种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇

3、偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增增增x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0]时，减x∈(－∞，0)时，减[探究]　2.为何幂函数在第四象限没有图象？幂函数的图象最多出现在几个象限内？提示：幂函数y＝xα，当x>0时，根据幂运算，幂函数y＝xα>0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象；幂函数的图象最多只能出现在两个象限内．3．函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指数的大小有什么关系？提示：在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下．[自测牛刀小试]1．

4、已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(2,4)，且过点(3,0)，则f(x)＝________________(用一般式表示)．解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2＋4(a≠0)，代入点(3,0)．可得0＝a(3－2)2＋4.从而a＝－4，所以f(x)＝－4(x－2)2＋4＝－4x2＋16x－12.答案：－4x2＋16x－122．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5在x轴上方，则a的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝ax2＋x＋5在x轴上方，∴即a>.3．(教材习题改编)已知函数y＝x2－2

5、x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．解析：如图，由图象可知m的取值范围[1,2]．4．(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是________．①y＝2x；②y＝2x－1；③y＝(x＋2)2；④y＝；⑤y＝.解析：y＝＝x，y＝＝x－故④⑤为幂函数．5．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函

6、数值随x值增大而减小．其中正确的是________．解析：幂函数y＝xn，当n<0时，不过(0,0)点，①错误；当n＝0时，y＝xn中x≠0，故其图象是去掉(0,1)点的一条直线，③错；y＝x2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．答案：②⑤二次函数的解析式[例1]　已知二次函数f(x)同时满足以下条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根的立方和等于17.求f(x)的解析式．[自主解答]　依条件，设f(x)＝a(x－1)2＋15(a<0)

7、，即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝1＋.而x＋x＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)＝23－3×2×＝2－.即2－＝17，则a＝－6.故f(x)＝－6x2＋12x＋9.在本例条件下，若g(x)与f(x)的图象关于坐标原点对称，求g(x)的解析式．解：设p(x，y)是函数g(x)图象上的任意一点，它关于原点对称的点p′(－x，－y)必在f(x)的图象上．则－y＝－6(－x)2＋12(－x)＋9，即y＝6x2＋12x－9.故

8、g(x)＝6x2＋12x－9.　　　　———————————————————二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：——————————————————————————————————————1．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解：∵f(2－x)＝