矩阵论—H-L定理ppt课件.ppt

《矩阵论—H-L定理ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、机动目录上页下页返回结束数学科学学院陈建华矩阵论机动目录上页下页返回结束1.4Hamilton─Caylay定理一、H-C定理二、最小多项式三、简单应用设为A的特征多项式,则证:设　　是　　　的伴随矩阵，则一、哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理都是λ的多项式，且其次数不超过n－1.又　　的元素是　　　　的各个代数余子式，它们因此，　　可写成零矩阵其中，　　　　　　都是　　的数字矩阵.再设则，①而②比较①、②两式，得③以　　　　　　　依次右乘③的第一式、第二式、…、第n式、第n＋1式，得④把④的n＋1个式子加起来，即得注：设　为有限维线性空间V的

2、线性变换，　　是的特征多项式，则零变换注意：教材是用若当标准形证明。例1.设　　　　　　　求解：A的特征多项式用　　去除　　　　　　　　　　　　　　得由哈密尔顿―凯莱定理，是A的特征多项式，则因此，对任定一个矩阵，总可以找到一个多项式　　　使多项式　　为A的零化多项式.引入接着讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系.此时，也称二、最小多项式1.最小多项式的定义定义：设在数域P上的以A为根的多项为A的最小多项式，记做.式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称例子：2.最小多项式的基本性质性质1矩阵A的最小多项式是唯一的.证：设都是A

3、的最小多项式.由带余除法，可表成其中或于是有由最小多项式的定义，即，同理可得，又都是首1多项式,故性质2设　　是矩阵A的最小多项式，则零化A证：充分性显然，只证必要性由带余除法，可表成其中或于是有由最小多项式的定义，由此可知：若是A的最小多项式，则　　整除任何一个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式.即性质3.矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因子.例2、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式特别地，单位矩阵的最小多项式是　　　；零矩阵的最小多项式是.反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵.例3、求的最小多项式.解：A的特征多项式为又

4、∴A的最小多项式为性质4.相似矩阵具有相同的最小多项式.证：设矩阵A与B相似，分别为它们的最小多项式.由A相似于B，存在可逆矩阵T,使从而也以B为根，同理可得从而又都是首1多项式，反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.如：的最小多项式皆为但A与B不相似.注：即所以，A与B不相似.性质5设A是一个准对角矩阵并设的最小多项式分别为.则A的最小多项式为的最小公倍式.证：记首先，即A为的根.所以　被A的最小多项式整除.则从而其次，如果从而故为A的最小多项式.若A是一个准对角矩阵且的最小多项式为则A的最小多项式是为推广：特别地，若　　　　　　　　　两两互素，即则A的最

5、小多项式是为1.引理级若当块的最小多项式为证：J的特征多项式为三、简单应用而的最小多项式为定理：与对角矩阵相似的最小多项式是P上互素的一次因式的积.推论：与对角矩阵相似的最小多项式没有重根.对角化定理机动目录上页下页返回结束