第4章系统的稳定性分析ppt课件.ppt

《第4章系统的稳定性分析ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章系统的稳定性分析李雅普诺夫意义下的稳定性1李雅普诺夫稳定性定理2线性系统的稳定性分析3李雅普诺夫方法的应用4引言：1、稳定性是控制系统的首要问题。2、经典理论判稳方法及局限性。A、直接判定：单入单出系统中，基于特征方程的根是否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯－古尔维茨代数判据和奈魁斯特频率判据。局限性是仅适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。B、间接判定：方程求解－对非线性和时变通常很难。1线性系统稳定性分析的理论框架第一方法第二方法稳定性分析1892年俄国数学家李雅普诺夫SISO的代数分析方法解析方法Routh判据Houwitz判据根据SISO闭环特征方程的系数判

2、定系统的稳定性根据状态方程A阵判定系统的稳定性23、现代控制理论判稳方法：[俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于各种系统。李雅普诺夫是俄国数学家、力学家。23岁大学毕业后留校工作，师从切比雪夫。35岁获博士学位并成为教授。43岁当选为圣彼得堡科学院通讯院士，而后分别当选为意大利国立林琴科学院，巴黎科学院外籍院士。李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最有名。在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机算子等等。1857-191833、现代控制

3、理论判稳方法：4、本章内容：李氏第二法及其应用。李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李氏函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对任何复杂系统都适用。李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质判稳－－间接法44.1基本定义一、系统：几个稳定性概念5如果对于所有t总存在着则称为系统的平衡状态。定义平衡状态：对于动态系统6从定义可知,平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态,如图所示。平衡状态的个数？7如果A非奇异，则原点是系统唯一的平衡状态如果A奇异阵，则有无穷多个平衡点(1)线

4、性定常系统(2)非线性系统平衡点不只一个，可能有多个例系统中，有几个平衡点？皆为系统的平衡点若xe为系统的平衡点，则8三、范数：－衡量（度量）状态空间距离的大小向量x的长度称为向量x的范数：9李亚普诺夫意义下的稳定在f作用下，x偏离xe有三种有界xxe无界系统稳定的分类：1011李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡态附近的解总是在该平衡态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终状态稳定于何处。1213

5、稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。从工程意义来说,渐近稳定性比经典控制理论中的稳定性更为重要。由于渐近稳定性是个平衡态附近的局部性概念,只确定平衡态渐近稳定性,并不意味着整个系统能稳定地运行。对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明：14－非线性系统，多个xe－线性只要渐近稳定（只有一个xe)一定是整个状态空间的渐近稳定。xe是渐近稳定，且其渐近稳定范围是整个状态空间。3、大范围渐近稳定如果平衡状态x

6、e是稳定的，而且从所有初始状态出发的轨迹线都具有渐近稳定性，则称这种平衡状态xe大范围渐近稳定。15164.2李雅普诺夫第一法4.2.1线性系统的稳定判据线性定常系统（1）平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。如果系统对于有界输入所引起的输出是有界的，则称系统为输出稳定。线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：试建立如图所示的小车-倒立摆系统的状态空间模型。假设小车和摆仅在一个平面内运动，其不考虑磨擦、摆杆的质量和空气阻力。解：建立平衡方程的极点全部位于s的左半

7、平面。应用：倒立摆18设M=1，m=0.1，l=119>>a=[0100;00-10;0001;00110]a=010000-10000100110>>eig(a)ans=003.3166-3.3166系统矩阵存在正极点，系统不稳定204.2.2非线性系统的稳定性设系统的状态方程为：为其平衡状态；为与同维的矢量函数，且对工具有连续的偏导数。为讨论系统在处的稳定性，可将非线性矢量函数在邻域内展成泰勒级数，得：式中，为级数展开式中的高阶导数项。而称为雅可比(Jacohia