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1、第5章离散傅立叶变换自动化与电气工程学院自动化系5.1有限长序列的离散傅立叶变换（DFT）计算机处理数据的特点：离散、有限长几种不同类型信号的傅立叶变换非周期连续信号EO()tft2t2t-周期连续信号)(tf2t-t1T1T-E2tO……1ww13wnc0A1A3AOAn时域的周期性导致于频域的离散性，离散点间隔为ω1非周期离散信号nTSx(n)Ω时域的离散性导致频域的周期性,周期为2π对x(n)进行周期拓展，得到周期性的离散信号，其频域信号应具备离散性和周期性周期为N，x(n)为的主值序列序列在时域的周期性其傅立叶变换在频
2、域的离散性2π/N5.1.2DFT变换的定义jIm[z]Re[z]0
3、z
4、=1定义旋转因子：——单位圆上顺时针方向 的第k个点X(k)的长度与x(n)相同旋转因子的性质1.共轭对称性2.周期性3.可约性DFT的矩阵形式IDFT的矩阵形式例1利用矩阵表示式求矩形序列R4(n)={1,1,1,1}的DFT例2求矩形序列x(n)={1,1,1,1,0}的DFT注意：当序列长度不同时，由于其DFT在单位圆上的采样点不同，因而导致DFT的形式完全不同举例：手工计算DFT三种离散序列变换的关系jIm[z]Re[z]0X(z)的收敛域
5、z
6、
7、=1z=ejΩjIm[z]Re[z]0
8、z
9、=1jIm[z]Re[z]0
10、z
11、=15.2离散傅立叶变换的性质1.线性性质注意：两个序列的点数必须相同2.圆周移位特性圆周移位的概念（注意与线性平移的区别）对N点有限长序列进行周期拓展，得到周期为N的周期序列对平移M个点后，取其主值序列（n=0～N-1）序列线性平移序列圆周移位序列在圆周上按逆时针顺序排序圆周右移：圆周做逆时针转动圆周左移：圆周做顺时针转动2.圆周移位性质【例】已知4点序列x(n)={2,1+j,1-j,3}的DFT为X(k)={7,2+3j,-1-2j,-j}，求
12、对x(n)向右圆周移位2个单位的序列，并计算移位后的DFT。若则时移性质：若则频移性质：3.圆周卷积定理圆卷积定义N变量替换序列做周期反褶对反褶序列圆周移位n注意与线卷积的区别：注意：做圆卷积时两个序列长度必须一致，若序列长度不一致，则需对短序列补零点，使之与长序列长度一致；圆卷积的长度与两个序列长度相等【例1】对于两个有限长序列x1(n)={1,0,1,0}，x2={4,3,2,1}，求圆卷积。y(0)y(1)Ny(2)y(3)时域圆周卷积定理：N频域圆周卷积定理：N【例2】求4点矩形脉冲R4(N)和自己的线卷积与圆卷积。计
13、算圆卷积的DFT。在R4(N)后面添加3个零点，将它扩展成长度为7的序列后再计算它和自己的圆卷积。结论：任意两个序列x1(n)和x2(n)，通过补零将这两个序列扩展为长度L，且满足L≥N1+N2-1，则扩展后两个序列的圆卷积与它们的线卷积相等。利用DFT计算两个序列的线卷积计算y(n)=x(n)*h(n)DFTDFTIDFT4.共轭对称性对X(k)做圆周反褶后再取其共轭推论1：若有限长序列x(n)均为实数，则X(k)=DFT[x(n)]有如下特性：X(0)为实数，X(k)=(X(N-k))*，k=1…N-1推论2：若有限长序列
14、x(n)均为虚数，则X(k)=DFT[x(n)]有如下特性：X(0)为虚数，X(k)=-(X(N-k))*，k=1…N-1例：已知有限长序列，则DFT[x(n)]为（）A{21，-8.4-4.9i，1.8+3.8i，-0.4-3.7i，-0.4+3.7i，1.8-3.8i，-8.4+4.9i}B{21j，8.4-4.9i，-1.8-3.8i，0.4+3.7i，-0.4+3.7i，1.8-3.8i，-8.4-4.9i}C{21j，-8.4-4.9i，1.8+3.8i，-0.4-3.7i，-0.4+3.7i，1.8-3.8i，-8
15、.4+4.9i}D{21，8.4-4.9i，-1.8-3.8i，0.4+3.7i，-0.4+3.7i，1.8-3.8i，-8.4-4.9i}5.4频域抽样理论应满足时域抽样理论M个抽样点对时间序列进行周期性拓展，问题：当频域抽样满足什么条件时，可以保证周期序列的主值序列与原序列相等？kN个抽样点tx(t)ωX(ω)nx(nTS)ΩX(ejΩ)NMN=M频域抽样理论：x(n)长度为M，其傅里叶变换X(ejΩ)在频域上一个周期内进行N点抽样，得到离散频谱X(k)，则当N≥M时，可以通过IDFT[X(k)]无失真地还原出原始
16、频谱x(n)，此时x(n)为周期序列的主值序列，
