第03章-自激振动ppt课件.ppt

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1、第三章自激振动§3.1自激振动的机理和特征§3.2极限环与vanderPol方程§3.3工程中的自激振动问题§3.4张驰振动§3.5动态分岔.第三章自激振动自激振动与周期激励的响应相比，仍然是一种周期振动，它也是靠外界能源的驱动形成的，不同的是现在的能源是一个能量不变的能源，能源本身不直接给系统提供周期性变化的能量，系统振动能量的周期性变化是靠系统固有的某种自动调节机制、周期性地向能源和环境吞吐能量形成的。当然，振动系统周期性地向能源吸收能量而能源的能量保持不变，这只能在能源的能量大大超过振动能量的前提下才能近似实现，这是自激振动系统

2、的另一个特征。自激振动系统（self-excitedsystem）也称为自振系统,它的特性很复杂。本章只学习单自由度系统自激振动的形成和演变的一些基本规律。.§3.1自激振动的机理和特征1.自激振动的机理图3.1、图3.2为两个自振系统的实例。就电铃而言，能源为直流电源，在一定时期内，能量近似恒定，接通电源后，铃锤在电磁吸力作用下，弯曲敲击铜铃，同时电路触点断开，电磁吸力消失；在这个过程中，振系从能源吸收图3.1图3.2.电能，一部分转化为铃锤的动能和弹性势能，另一部分由于材料阻尼、敲击等因素而耗散。接下来的过程是，弹性势能使铃锤

3、恢复形状，使电源再次接通，完成一次振动，并开始下一次振动。可见，自激振动的形成过程和机理是：振系在某些初始激励下能作往复运动，同时振系内有一个固有的自动调节环节起作用，它能自动感知振系状态，根据振系状态自动调节能量的吸收，并能使振系在每个往复运动中吸收的能量逐渐等于耗散的能量，从而使振系的能量和状态周期性变化，即形成自激振动。自激振动的形成机理，可用框图表示，如图3.3。振动系统调节器能源状态反馈图3.3.需要指出的是，图中的调节器就是前述的自动调节环节，对于某些振系，调节器是一个实际存在的装置，如电铃，其调节器为电磁断续器，而对很多

4、振系，调节器并不是一个明确的装置，而是系统自身的特性和参数综合形成的一个自动控制环节。2.自激振动的特征参见课本p57的总结。.§3.2极限环与vanderPol方程1.极限环从以上定性分析已知，自激振动是周期振动，因此对单自由度系统，自激振动的相轨迹是一条封闭曲线，与保守系统的自由振动相轨迹不同的是，自激振动的封闭相轨迹的形状和运动周期，是由系统的固有参数和特性决定的，而与初始条件无关。因此，自激振动的封闭相轨迹在相平面上是一条孤立的封闭曲线。在这条封闭曲线邻近的相点，将沿某一螺旋状相轨迹趋近或离开这条封闭曲线，因此称它为极限环

5、(limitcycle)。一个振系的极限环可能不止一个，当极限环邻近的相轨迹都趋近于极限环时，该极限环是稳定的，否则，是不稳定的，如图3.4。只有稳定的极限环才对应于能够实现的自激振动，因此寻求极限环并确定其稳定性，是非线性自治系统研究中的一个最重要的问题。.vanderPol振荡器是已知存在极限环的系统的一个经典例子。vanderPol方程也可以由Rayleigh方程经变换得到，Rayleigh方程为2.vanderPol方程图3.4(3.2)这就是vanderPol方程。对（3.2）作能量积分得(3.1)（3.1）式对t求导，得.E为

6、积分常数。当x的幅值较小时，上式右端第二项圆括号中的值大于零，积分值随时间增长而增大，系统的机械能增大，即系统向外界吸收能量，同时使系统的运动幅度增大，这一过程一直到积分的平均值为零才停止。当x的幅值较大，上式右端第二项圆括号中的值小于零时，系统将耗散能量，同时使系统的运动幅度减小。因此预计系统最后可能会稳定在某个周期运动状态，即自振状态。方程（3.2）的第二项与速度有关，相当于一个阻尼项，由上述分析知，它不是常规阻尼，而是一个交变阻尼，耗散能量时，称为正阻尼，吸收能量时称为负阻尼。下面用相平面法来确定其极限环。不失一般性，设Rayl

7、eigh方程（3.1）中，d=1，相轨迹微分方程为.显然，原点是系统唯一的奇点。用Lienard方法作相轨迹，Lienard辅助曲线为(3.3)它也恰好是通过原点的零斜率等倾线，图3.5中的虚线。稍加考察可知，奇点附近的相轨迹是向外发散的，因此奇点为不稳定焦点。最后作出的相轨迹如图3.5。也可用谐波平衡法来求出vanderPol方程的近似解，设极限环图3.5.代入下面的vanderPol方程注意，以上近似解只有当e为小参数时才成立，图3.5也是针对e为小参数的情况画出的。对于e为大参数的情况将在§3.4节中研究。.§3.3工程中的自激

8、振动问题1.时钟原理机械时钟的钟摆简化模型如图3.6，它是一个自激振动系统。近似恒定的能源为发条弹性能，当钟摆向平衡位置运动并(3.4)到达摆角x=时，会