干摩擦引起自激振动现象研究

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1、万方数据第29卷第3期2010年3月大学物理COLLEGEPHYSICSV01．29No．3Mar．20lO干摩擦引起自激振动现象研究路峻岭，王长江，秦联华，李复(清华大学物理系，北京100084)摘要：对于摩擦引起自激振动现象进行分析，得到了其解析表达式，对振动过程进行了详细的分析，画出了振动曲线和相图。说明这就是弦弓乐器发出优美声乐的物理原因．关键词：静摩擦；滑动摩擦；简谐振动；旋转矢量图中图分类号：O343文献标识码：A文章编号：1000—0712(2010)03—0001—06文献[1]中关于干摩擦引起自激振动的模型如图1所示⋯，其

2、中0为平衡位置，s为质量为m的滑块相对平衡位置的位移．它实际上可以等效于图2所示的实验．图1文献[1]中关于干摩擦引起自激振动的模型地面参考系D图2干摩擦引起自激振动的实验装置图2所示实验装置是：质量为m的滑块P与劲度系数为k自由长度为20的轻质弹簧连接，弹簧的另一端连接一滑块Q．采用地面参考系(好处在于滑块P的速度为零时所受的摩擦为静摩擦力)，以滑块P的平衡位置为原点，建立坐标轴Ox，如图示．设滑块P与地面之间的静摩擦系数为p。，滑动摩擦系数为弘，且有p。雄．初始状态：滑块P静止，弹簧处于自由长度；从t=0时刻起，滑块Q突然沿弹簧轴向向远

3、离滑块P的方向以速度％作匀速直线运动并一直保持．以下研究滑块P的运动．收稿日期：2009一01—20；修回日期：2009-07-08作者简介：路峻岭(1946一)，男，河北南宫人，清华大学物理系教授1动力学方程及其解弹簧由原长(自由长度)开始运动并开始计时，滑块Q的坐标为菇。(t)=％t+l。．由于静摩擦力的作用，开始时滑块P仍然保持静止，直至弹簧伸长到弹力刚刚能克服静摩擦力的时刻t，为止，t。：_mgl比o．从‘Ifv“t。时刻起，滑块P由静止开始运动．在t。时刻，滑块P的位置和速度仍然为0，即菇(t。)=0，圣(t。)=0．以下研究滑块

4、P的运动，时间范围则从t≥t，起直到圣(t：)=0的t=t：时刻止．滑块P开始运动后，摩擦阻力将变为滑动摩擦力．如果摩擦系数肛不太大，则在滑块Q参考系中可观察滑块P的振动(p较大时的情况将在后面讨论)．在地面参考系中，滑块P的动力学方程为k(茗l一戈一％)一mglx=mii(1)将并1=t，ot+lo代人上式得k(移ot-x)-mgix=mii，即m茧+kx=kvot-mgl∞，得茧+(￡，：并=∞02t，of—g弘(2)其中∞。2：旦．此微分方程的特解是聋=秽。t-笔，因此mton‘它的通解为菇(f)=Asin(ca。t+9)+Vot一笔

5、(3)∞0滑块P的速度为杰(t1)=AtooCOS(∞ot+60)+移o(4)其中，积分常数A、9由t=t。时刻的初条件髫(t。)=0和圣(t。)=0确定．据初条件可得万方数据2大学物理第29卷即fAsin(∞以+妒)+％t。一笔=o{‰【Atoocos(090t1+9)+口o=oAsin(to。tl+妒)=一g(p。_p)‰(5)Acos(∞。￡l+妒)：一一Vo由式(5)可得，tan(∞ot。+rp)=上(‰甲)，它大于7300)0零，可知(∞。t。+妒)为第一象限角，令它等于．卢，从而卢=arctan[g(go-g)]0)，妒=卢一∞

6、。t。(6)O／30：一巫2些2笪2A蟛(7)：一坐堂堂宰盟(7’因此，微分方程(2)满足初条件的解为算(。)：一羔垒尘2兰尘2二!掣2。inf∞。。一∞。。。+‘—g(go—-p)arctaIi1+∥。t一骘(8)——l十∥。‘一—了I6JI)o(．00／∞i从而未(。)：一兰!12生竺尘2二!二21丛c。。f∞。。一∞。。。+rctan—g(Ixo—-弘)arctan731+％”(9)一l+勘．IyJ00)0／茧(z)=属虿虿丽sin‰t一∞。t。+a玎ctan墨!：：：；；!L)(·o)分析以上3式可知，在t。≤f≤t：范围内，滑块P

7、的位置、速度、加速度可用下列诸式表示：巾m扩笔09一业掣咿△f(⋯0oJ0uu5p其中弹簧伸长量为△f=【茗。(t)—菇(t)】一z。=嚣+!旦墅竺j铲(12)孙冲。【l一堕学】(13)J／(t)：—Vo—tO—os—in—(—tO—oti-t—Oo—t,—+一卢)(14)COS拶对干摩擦引起自激振动解的解释从式(11)可以看出滑块P的运动规律，第一项为匀谏盲终话动币．笔一币为沿动麈榕了1伟程簪伸长项，第三项为振动项．式(11)中的第二、三两项描述阻尼力大小为定值(滑动摩擦力)时的阻尼振动，要想使它不是过阻尼或临界阻尼，振动项的振幅必须大于

8、由于滑动摩擦力而引起的弹簧伸长江1．即去>罂或删<1(15)O)oCOSp∞；090790由式(13)可以看出：从t=tl时刻(∞ot-caotl+卢=JB)起到t=f2时刻(∞