高等代数线性方程组PPT课件.ppt

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1、线性方程组第三章线性方程组1.线性方程组主要内容：消元法n维向量空间线性相关性矩阵的秩线性方程组有解的判断定理线性方程组有解的结构2.线性方程组§1消元法§1消元法考虑一般的线性方程组当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。当s=n时，若D=0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。3.线性方程组§1消元法●线性方程组的矩阵表示法其中系数矩阵未知向量右端向量4.线性方程组§1消元法用一个非零的数乘以某一个方程；●线性方程组的初等变换把某

2、一个方程的倍数加到另一个方程；互换两个方程的位置；用一个非零的数乘以矩阵的某一行；●矩阵的初等行变换把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；交换矩阵中某两行的位置；方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。方程组的初等变换是否会改变线性方程组的解？定理：方程组的初等变换将一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。5.线性方程组§1消元法●增广矩阵由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵称为该线性方程组的增广矩阵。线性方程组与增广矩阵是一一对应的定理：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化为，则以为增广矩阵

3、的线性方程组与原线性方程组同解。一个线性方程组的增广矩阵可通过初等行变换化为怎样的简单形式？阶梯形矩阵6.线性方程组§1消元法定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换化为一个阶梯形矩阵。定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。7.线性方程组§1消元法当时，该线性方程组无解。当时，该方程组有解，并分两种情况：(i)若r=n，则阶梯形方程组为方程组有唯一解。8.线性方程组§1消元法(ii)若r

4、、解线性方程组§1消元法10.线性方程组§1消元法定理：在齐次线性方程组中，如果s

5、1，-a2，…，-an)13.线性方程组§2n维向量空间向量数乘满足以下两条运算规律有单位元：结合律：分配律：分配律：向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质定义：若V是数域P中n维向量的全体，若考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称V为数域P上的n维向量空间，记为Pn。14.线性方程组§3线性相关性§3线性相关性●向量组的线性关系定义：设是Pn中的向量，若存在数域P中的一组数使得则称是向量组的一个线性组合，或称向量可被向量组线性表出。15.线性方程组§3线性相关性

6、例1在R3中，试问向量是否为向量组的一个线性组合？例2在Pn中，任何一个n维向量都可由线性表出。向量e1，e2，…，en称为n维单位向量16.线性方程组§3线性相关性定义：如果向量组中有一个向量可以由其余的向等价定义：则称向量组是线性相关的。量线性表出，那么称向量组是线性相关的。定义：设是Pn中的s个向量，若存在数域P中的一组不全组不全为零的数使得试给出线性相关的几何意义？17.线性方程组§3线性相关性则称向量组是线性无关的。定义：设是Pn中的s个向量，若不存在数域P中的一组不全为零的数使得例3判断向量组是否线

7、性相关。例4设向量可由向量组线性表出，则表示法唯一的充要条件是线性无关。18.线性方程组§3线性相关性判断向量组是否线性相关的方法：(1)设(2)将其按分量写出(3)若该奇次方程组有非零解，则原向量组线性相关，反之则线性无关。19.线性方程组§3线性相关性●线性关系的性质性质1向量组中的每一个向量都可由这组向量线性表出。线性表出。性质2如果向量g可由向量组线性表出，而它的每一个向量又可由向量组线性表出，则g可由向量组性质3如果向量组线性无关，则它的任一部分组也线性无关。性质4如果向量组的某个部分组线性相关，则原

8、向量组也线性相关。整体无关，则部分无关；部分相关，则整体相关性质5如果向量组线性无关，而向量组线性相关，则b可由向量组线性表出。20.线性方程组§3线性相关性性质6如果向量组线性无关，则其同位延长向量组也是线性无关的。21.线性方程组§3线性相关性●向量组的等价性与替换定理如果Pn中的两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组是等价的。向量组等价的性质：反身性对称性传递性表示向量组之