高等数学-对坐标的曲线积分PPT课件.ppt

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1、常力沿直线所作的功分割问题11.2:变力沿曲线所作的功11.2对坐标的曲线积分11.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质求和取极限取近似取即近似值精确值或定义11.2设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑用L上的点把L分成n个有向小弧段曲线弧,在L上有界.上任意取定的点.如果当各小段长度的最大值的极限总存在,记作则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分,或称第二型曲线积分.即类似地定义称在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.积分弧段被积函数在应用中常出现组合形式其中或向量“点积”形式沿闭

2、曲线L的曲线积分记作物理意义沿平面曲线L所做的功为类似地,可定义空间向量函数沿着空间曲线L的第二型曲线积分为其中对坐标的曲线积分具有下列性质:沿平面曲线L的第二型曲线积分存在,则设(1)线性性质:积分存在,且沿曲线L的第二型曲线其中为任意常数.LL1L2(2)可加性:且它们的方向相应地一致,则(3)有向性:有向曲线,则对坐标的曲线积分与曲线的方向有关!设L是有向曲线,定理11.2设在有向曲线弧L上连续,且11.2.2第二型曲线积分的计算则曲线积分则则对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.积分下限应是起

3、点的坐标,上限是终点的坐标.曲线方程的其他情形(3)对于空间曲线例计算解⌒⌒(1)取x为积分变量(2)取y为积分变量解(1)例计算其中A点对应B点对应B点对应O点对应(2)O点对应A点对应问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同,积分结果也不同.解(1)A点对应L的参数方程为B点对应其中例计算问题:被积函数相同,起点和终点也相同,(2)虽然路径不同,但积分结果相同.解L的参数方程为其中L为圆周例计算其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为解化成参数式方程为

4、于是例计算A点对应B点对应(1)L是上半圆周反时针方向;解A点对应(2)L是x轴上由点到点的线段.(1)中L的参数方程为B点对应其中原式=练习(2)L的方程为原式=(2)L是x轴上由点到点的线段.其中11.2.3两类曲线积分之间的关系设A,B分别是曲线L的起点和终点,L的长度为l.M是曲线上的动点,取弧长作参数,可以表示为以s为参数的参数方程则曲线L于是其中方向余弦.即这就是平面上两类曲线积分之间的关系.类似地,空间曲线上的两类曲线积分有如下关系其中处的切线向量的方向余弦.例把对坐标的曲线积分解所

5、以化为对弧长的曲线积分.其中L为沿抛物线从点(0,0)到(1,1).由作业习题11.2(276页)1.(1)(4)2.(1)(2)3.