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1、分段低次插值前面我们根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式L_n(x)近似表示f(x)。一般总以为L_n(x)的次数越高，逼近f(x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。分段线性插值分段线性插值分段线性插值缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。分段三次Hermite插值分段三次Hermite插值算法例题例题三次样条插值数学
2、里的样条(Spline)一词来源于它的直观几何背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压铁(构成样条!)固定在样点上，在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线.样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。三次样条插值三次样条插值三次样条插值三次样条插值一个实例相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较CubicSplineInterpolationLagrange三次样条插值三次样条插值三次样条插值三次样条插值三次样条插值三次样条插值三次样条插值三次样条插值例题例4
3、.4.1已知函数y=f(x)的数表如下表所示。求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529解做差商表(P111),由于是等距离节点,由第二类边界条件得解方程得将Mi代入式4.4.14)得由于故曲线拟和的最小二乘法插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.1最佳平方逼近定义4.5.1设称为函数在区间[a,b]上的内积.其中为区间[a,b]上的权函数,
4、且满足下面两个条件:容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.内积的性质函数的欧几里得范数定义4.5.2设称为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.函数的欧几里得范数性质线性相关的函数系定义4.5.3设函数,如果存在一组不全为零的数使成立,则称函数系是线性相关的,否则称是线性无关的.线性相关的函数系的判定定理4.5.1函数在区间[a,b]上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式不难证明在R上线性无关.定理4.5.1的等价说法是:函数系线性无关的充分必要条件是Gramer行列式.最佳平方逼近定义4.5.4设函数及函数系且线性无关.记为连续函数
5、空C[a,b]的子空间,如果存在元素满足则称为f(x)在上的最佳平方逼近函数.且其中是法方程唯一的一组解.令则误差为特例取则法方程为其中例题例4.5.1设求f(x)在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.解设由于故法方程为解得平方误差为2对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据:,求
6、曲线与实验数据误差在某种度量意义下最小.设是[a,b]上一组线性无关的连续函数系,令记误差.为寻求我们常以误差加权平方和最小为度量标准,即达到极小值,这里是[a,b]上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有用向量内积形式表示,上式可记上式为求的法方程组,其矩阵的形式为其中由于向量组是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式故式(4.5.14)存在唯一解,于是得到函数f(x)的最小二乘解其平方误差为特例例题例4.5.2设函数y=f(x)的离散数据如下表所示试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.
7、0001.2211.4921.8222.2262.718解由式(4.5.16)可得解方程组得所以拟合二次函数为平方误差为例4.5.3地球温室效应问题下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08解为简化数据,从1880年起年份记N
8、,其变换n=(N-187
