单变量函数的微分ppt课件.ppt

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1、单变量函数的微分学及应用第二章1第二章基本内容导数与微分经济学概念导数与微分的应用（II）供求理论消费理论厂商理论市场理论导数与微分的应用（I）Lagrangian中值定理与Taylor中值定理函数单调性函数凹凸性函数的极值2导数与微分变量与函数变量经济学中的实际问题，往往由许多因素组成．可分为两类：1)原因因素，数学上称作自变量，经济学上称作外生变量（不可控因素）；2)结果因素，数学上称作因变量，经济学上称作内生变量（可控因素，即模型的解）．函数我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系，数学上用因

2、变量与自变量之间的函数关系来描述3导数定义设y=f(x)是定义在集合S上的一元函数，x0S，则f(x)在x0处的导数定义为或称f(x)为定义在S上的导函数．由导数定义可知f(x+1)f(x)f(x)（参见后面的应用）4导数（续）几何解释f(x0)是函数f(x)的图形在点(x0，f(x0)点处切线的斜率，该点处切线的方程为yf(x0)=f(x0)(xx0)经济解释经济学中许多重要的概念是用导数来刻划的；数学上的导数，对应着经济学上的边际；利用导数进行经济分析，简称边际分析；例如，需求

3、量Qd=f(P)对价格P的导数f(P)称为价格的边际需求量．5导数（续）经济应用－－经济学中的边际概念经济学中的边际概念定义为一个经济量X在原有值X0的基础上再增加一个单位而导致的另一个经济量F(X)的增量，数学上表示为F(X0+1)F(X0)F(X0)．劳动的边际产量是指再雇用一个单位的劳动所增加的产量；假设生产函数为Q=F(L)，当前劳动为L0个单位，则劳动的边际产量为F(L0+1)F(L0)F(L0)．6导数与微分（续）例如，设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2，L0=100。

4、计算知F'(L0)=F'(100)=0.025，F(101)F(100)=0.0249．可见导数F(100)是边际产量F(101)F(100)的一个很好的近似值尽管F'(X)不能精确表示由X增加一个单位而导致的F(X)的增加量，但经济学家们仍然用它来表示F(X)的边际变化．这是因为1）单一项F'(X)比差F(X+1)F(X)简单；2）F'(X)避免了“用何单位度量X增加一个单位”这一问题．7微分定义设y=f(x)是定义在集合S上的一元函数，x0S．给定自变量x的一个增量x，若函数的增量

5、y可表示为：y=f(x0+x)f(x0)=Ax+o(x)则称函数f(x)在x0处可微，并称Ax为函数f(x)在x0处的微分，记作dy

6、x=x0=Ax或dy

7、x=x0=Adx．微分的计算若函数f(x)在x0处可微，则dy

8、x=x0=f(x0)x．8微分（续）微分的应用微分可用于近似计算．这是因为由微分的定义可知y=f(x0+x)f(x0)f(x0)x或f(x0+x)f(x0)+f(x0)x.在前面知道可用导数计算某个经济量x增加一个单位时相应的另一个经济量的变化．

9、若经济量X增加X个单位，则可用上式式计算相应的另一个经济量F(X)的变化．9导数与微分（续）例如，设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2，将劳动力L由900个单位削减到896个单位，试估计产量的变化和在L0=896处的新产量．解：Q=f(900)(896900)=1/30单位F(896)=F(900)+Q=14.9667单位10Lagrangian中值定理若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则至少存在一个(a，b)使下式成立f(b)f(a)=f()(ba).几何

10、解释：在弧AB上至少有一点C，使曲线f(x)在C点处的切线平行于弦AB．OCABabf(x)11Taylor中值定理设x0(a，b)，f(x)在(a，b)内有直到n+1阶的导数，则当x(a，b)时，存在在x0与x之间，使得下式成立其中称作Taylor余项当n=0时，Taylor公式成为Lagrangian中值公式，因此Taylor中值定理是Largrangian中值定理的推广．12应用(I)单调性、凸凹性、极值介绍Largrangian中值定理和Taylor中值定理在函数的单调性、极值和凹

11、凸性等方面的应用．函数单调性的判定函数凹凸性的判定函数的极值13应用(I)单调性f(x)单调的充分条件设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则(1)f(x)在[a，b]上严格单调增加的充分条件是在(a，b)上恒有f'(x)>0；(2)f(x)在[a，b]上严格单调减少的充分条件是在(a，b)上恒有f'(x)<0．证明：由Largrangian中值定理证明．几何解释：f(x)在[a，b]上严格单调增加（或减少）等价于f(x)图形上任一点处的切线与x轴的