复变函数和断裂力学ppt课件.ppt

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1、第二讲:线弹性断裂力学·弹性裂纹尖端场的特征展开(Williams,1957)概述裂纹可分为三种类型：I型——张开型II型——剪切型III型——撕开型(反平面剪切型)三种裂纹的形式中，I型裂纹最为常见，在工程设计和分析中最重要。但在数学分析上，III型裂纹比较简单。反平面应变问题主要应力分量,；位移III型反平面剪切问题复变函数方法在求解裂纹尖端时是相当有效的。根据复变函数理论，任何解析函数的实部和虚部都满足Laplace方程，它们构成共轭的调和函数。如果知道一个调和函数，则可以由柯西－黎曼方程求出与之共轭的调和

2、函数。III型反平面剪切问题可见Ⅲ型裂纹的线弹性裂纹尖端场具有奇异性，且与因子成正比。称为Ⅲ型裂纹的应力强度因子，它是由外加载、裂纹尺寸以及构形的几何决定的。III型反平面剪切问题在有些情况下，有必要考虑应力应变公式中的第二项，此时应力和位移场变为：线弹性力学的平面问题和反平面剪切问题平面问题的复变函数表示应力组合与位移组合Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题平面问题，应变分量为：线弹性本构关系为：平衡方程为：变形协调方程为：Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题如果应力分量由Airy应力函数表示，即：以上应力函数自动满足平衡方程。但要同时满足变形

3、协调方程，就必须满足以下双调和方程：Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题满足拉普拉斯方程，则类似于反平面问题，可以将表示为：积分得：为解析函数和为解析函数Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题易证：对于平面应力对于平面应变Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题设上述方程的解有以下的形式：代入裂纹上下表面（）的应力自由边界条件，可得：C1,C2为待定复常数为实常数Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题即：解的一般形式表示为:类似于Ⅲ型问题，裂纹前端的应力应变场由第1项主导，其系数为:该方程组有非零解得条件是:（当时，裂尖位移奇异，当时，代表刚体位移）和分别为I、II型应力强度因子Ⅰ型和Ⅱ型裂

4、纹问题Ⅰ型情况下的应力场和位移场表示为：式中：Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题Ⅱ型情况下的应力和位移场表示为：式中Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题在某些情况下，应力、应变式中的第二项也对材料的断裂起明显影响，考虑前两项时的应力场和位移场为：第二项对应着刚体转动和均匀的横向应立场的叠加效应在文献中称为T应力，所以上式中的裂尖场又称为K-T场线弹性断裂力学裂纹的基本类型I型——张开型（openingmode)II型——滑开型（slidingmode)III型——撕开型（anti-planeshearmode)张开型滑开型撕开型线弹性断裂力学二维

5、I型裂纹的应力强度因子——衡量裂纹尖端区应力场强度的参量线弹性断裂力学II型裂纹尖端附近的应力场III型裂纹尖端附近的应力场线弹性断裂力学均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近位移场（I-II混合型裂纹）：线弹性断裂力学I型裂纹位移垂直于裂纹，呈平面张开型；II型裂纹位移平行于裂纹，呈平面剪切型；III型裂纹反对称于裂纹及其延长线线弹性裂尖场特点三种类型裂纹变形情况下的线弹性裂纹尖端场，在不考虑展开式的第二项的情况下得出的场统称K场。K场具有以下四个特点：三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异性，即在裂

6、纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不真实的性质是由于所采用的本构关系所决定的，，即认为材料能承受无限大的应力，且应变与应力呈线性关系。另外，在上述的分析中，裂纹假设成理想的尖裂纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂纹尖端不可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限的，但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个环状区域内K场是适用的。线弹性裂尖场特点K场内的位移与成线性比例关系。三种情况下的K场有相似的形式，分别由应力强度因子、和决定着其场的强度。SIF取决于外加载荷，而且与构件几何、裂纹尺寸有关，但是与坐标无

7、关。在K场范围内，应力和应变均正比于SIF，所以SIF是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征，是描述裂尖场强度的参数。线弹性裂尖场特点裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数仅与角有关，而与无关，对于同一种变形模式，角分布函数是相同的。所以，无论构件的形状、尺寸以及裂纹的尺寸如何，裂尖场都是相同的。对于一般的二维平面裂纹情况，裂纹尖端场是Ⅰ型和Ⅱ型K场的线性叠加。而对于三维裂纹，裂纹前缘任意一点的奇异场，都是Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型问题的线性叠加。线弹性断裂力学用柔度法确定临界应变能释放率柔度：变形与载荷的比值总应变能—柔度：

8、应变能释放率：临界应变能释放率：工程断裂问题与材料断裂韧性材料的断裂韧性临界应力强度因子，是材料抵抗裂纹能力的度量。是一个材料常数。断裂准则：当按照断裂力学方法得出的含裂纹构件的应力强度因子小于材料断裂韧度时，裂纹不扩展，构件安全；反之，裂纹扩展，构件不安全。关于G~K的关系式：以I型裂纹为例，OA段的两边作用有吸引（拉）力，此时OA段的上下边之间没有相对位移，且有第二步