复变函数课件.ppt

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1、第二章解析函数第一节解析函数的概念复变函数的导数与微分解析函数的概念函数解析的充要条件一、复变函数的导数与微分1导数的定义：设函数定义于区域若存在则称在可导，其极限值称为在的导数。记作：语言定义：使当时，有成立注意（1）从形式上看，复变函数与实变函数在一点的导数定义是一致的。（2）不同：即的方式是任意的，而实变函数只有左、右两个方向。本质区别在于求极限的不同。（3）若在区域内处处可导，则称在内可导。例1求的导数解：用定义例2问是否可导？解：若沿着平行于轴的方向趋于上式=1若沿着平行于轴的方向趋于则则上式=2由于沿不同方向趋于的值不同，故极限不存在，注：判别极限不存在的一般方法：设沿方向，为任意

2、数，则这样极限表达式中应当有，若极限值与有关，则极限必不存在。若与无关，也不能断然肯定极限存在。原因是沿方向不能代表是沿任意方向。所以不可导。2可导与连续的关系结论：可导连续反之未必证明：设在可导即则当有令则是关于的无穷小，即所以在连续。由的任意性知：可导必连续。反之则未必成立如在复平面内处处连续，但处处不可导。3求导法则其中c为复常数。是两个互为反函数的单值函数，且4微分的概念设函数在可导，则其中故是的高阶无穷小。而是的线性部分。称是在的微分。记作若函数在的微分存在，可微。则称在可导与可微的关系：可导可微特别地当时，由所以若在区域D内每一点解析，则称在D内解析是D内的一个解析函数。奇点使不解

3、析的点。注意1、函数在一点解析函数在一点可导，反之未必2、函数在区域内解析函数在区域内可导或称二、解析函数的概念1定义：如果函数在及的邻域内处处可导，则称在解析。2解析函数的运算性质定理1：两个解析函数的和、差、积、商（在分母不为0时）仍为解析函数。定理2：复合函数的解析性：设在复平面z上的区域D内解析，函数在h平面上的区域G内解析，若对于D内的每一点z,函数的对应值h都属于G，则复合函数在D内解析。注意由上两定理可知例1、研究函数的解析性解：在复平面上任一点可导，从而处处解析。（2）由前面的讨论知：在复平面上处处不可导，从而不解析。当时，上式的极限值为0时，令沿直线趋于值不确定。所以不存在。

4、例2、研究的解析性解：由于在复平面解析，将看成商，则除了外在复平面上处处可导，所以在除外的复平面内处处解析。是它的奇点。故在处可导，而在其它点均不可导。在复平面内处处不解析。三、函数解析的充要条件定理：函数在其定义域D内解析充要在D内任一点可微，且满足柯西—黎曼方程：证明因为在定义域D内解析故在D内任一点可导，即对充分小的有其中令则因此由可得由二元实函数可微定义知：在可微，且此方程为柯西—黎曼方程只证在区域D内任一点可导即可。因为在可微由二元实函数可微定义知：其中故由柯西—黎曼方程：故因为所以即极限存在。在区域D内处处可导，因而处处解析。注意（1）由柯西—黎曼方程知：（2）若把“D内任一点”改

5、为“D内某一点”，则该定理的条件也是函数在D内某一点可导的充要条件。此定理给出了一个简洁的求导公式。当一个函数可导时，仅由其实部或虚部即可求出导数。思考题下列函数在何处可导？何处解析？1、解：因为即所以在任何点均有故C—R条件不成立。由定理知此函数处处不可微。2、解：因为从而故此函数在复平面内处处可导，处处解析。并有3、解：由所以在复平面上处处可微，但C—R方程仅在处成立。故此函数仅在可导，在复平面处处不解析。此题也可用定义注意不能由满足C—R条件而推出函数可微的结论。但当时，当沿直线与趋于时，极限为0和1，故函数仅在不存在。可导因为所以此函数在可导，并且函数可导与解析的判别方法：1、利用可导

6、与解析的定义函数在点解析函数在点及其邻域内可导。函数在区域D内解析函数在区域D内可导。2、利用可导与解析的充要条件，且常用以下推论(I)u与v在偏导存在、连续且满足C—R方程(II)u与v在区域D偏导存在、连续且满足C—R方程(III)u与v的一阶偏导不存在，或虽存在但不满足C—R方程，则函数不可导，因而也不解析。1、如果在区域D内处处为0，那么在D内为一常数证明：因为故所以均为常数，因而在D内为一常数2、如果为一解析函数，且那么曲线族和必互相正交，其中为常数证：由于故与必不全为0解析函数的性质：如果在曲线的交点处与都不为0，由隐函数求导法知：曲线族和中曲线的斜率分别为因此和互相正交如果与中有

7、一个为0，则另一个必不为0则所以交点处的切线一个水平，一个铅直，仍互相正交。3、如果为解析函数，那么它一定能单独用来表示。证：将代入的函数。则变成了关于要证只依赖于只须证明（因为解析）故