小波分析方法ppt课件.ppt

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1、§15小波分析方法小波分析简介两个应用研究实例小波分析(waveletanalysis)，是在Fourier分析基础上发展起来的一种新的时频局部化分析方法，被誉为“数学显微镜”。小波分析，是应用面极为广泛的一种数学方法，是纯粹数学和应用数学完美结合的一个典范。小波分析为现代地理学研究提供了一种新的方法手段，它对于一些多尺度、多层次、多分辨率问题，如气候变化、植物群落的空间分布、遥感图像处理等问题，运用小波分析方法进行研究，往往能够得到令人满意的结果。§15.1小波分析简介小波与小波函数小波变换及其性质离散小波变换时频分析小波与小波函数基本约定：

2、一般用小写字母，比如f(x)表示时间信号或函数，x表示时间域自变量，对应的大写字母，F(ω)表示相应函数或信号的Fourier变换，ω表示频域自变量；尺度函数总是写成φ(x)(时间域)和Φ(ω)(频率域)；小波函数总是写成ψ(x)(时间域)和Ψ(ω)(频率域)。小波(函数)定义：记L2（R）是定义在整个实数轴R上满足条件的全体可测函数f(x)及其相应的函数运算和内积所组成的集合。那么，小波就是函数空间L2(R)中满足下述条件的一个函数或者信号Ψ(x):上两式称为容许性条件，R*代表非零实数全体。ψ(x)被称为母小波或小波母函数，有时也称为小波函

3、数。或对于任意的实数对(a，b)，其中，参数a必须为非零实数，称如下形式的函数为由小波母函数ψ(x)生成的依赖于参数(a,b)的连续小波函数，简称为小波。其中，a称为伸缩尺度参数，b称为平移尺度参数。几个比较典型的小波：①Shannon小波②Gaussan小波③Morlet小波：④Mexican帽子小波：以它为小波母函数，随a和b的不同取值而出现波形的变化和相应的平移情况见图15.1.1。图15.1.1以Mexican帽型小波做为母小波的小波在选择不同的a与b的值的波形变化小波变换及其性质对于任意函数或者信号f（x），其小波变换为：任意的函数f

4、(x)小波变换是一个二元函数。对于任意参数对(a,b)，小波函数ψ(a,b)(x)在x=b的附近存在明显的波动，远离x=b的地方将迅速地衰减到0，Wf(a,b)的本质就是原来的函数或者信号f(x)在x=b点附近按ψ(a,b)(x)进行加权的平均，体现的是以ψ(a,b)(x)为标准快慢尺度的f(x)的变化情况，一般称参数a为尺度参数，而参数b为时间中心参数。小波变换的几个基本性质：⑴Parseval恒等式对空间L2(R)中的任意的函数f(x)和g(x)都成立。小波变换在变换域保持信号的内积不变，⑵小波反演公式函数f（x）在点x=x0连续，则有如下

5、定点反演公式小波变换作为信号变换和信号分析的工具在变换过程中是没有信息损失的。⑶吸收公式与吸收逆变换公式当吸收条件成立时，可得到吸收Parseval恒等式和相应的吸收逆变换公式离散小波变换⑴二进小波和二进小波变换如果小波函数ψ(x)满足稳定性条件则ψ(x)为二进小波，对于任意的整数k，记为尺度参数a取二进离散数值ak=2-k时的特例对于函数f(x)，其二进离散小波变换记为Wkf（b），定义如下：其小波变换的反演公式是其中，函数t(x)满足称为二进小波ψ(x)的重构小波。⑵正交小波和小波级数如果下面一个函数族构成空间L2(R)的标准正交基即满足下

6、述条件的基，则称ψ(x)是正交小波对任何函数或信号f(x)，有如下的小波级数展开称为小波系数。小波系数Ak,j正好是信号f(x)的连续小波变换Wf（a，b）在尺度系数a的二进离散点ak=2-k和时间中心参数b的二进整倍数的离散点bj=2-kj所构成的点（2-k，2-kj）上的取值，因此，小波系数Ak,j实际上是信号f（x）的离散小波变换。也就是说，在对小波添加一定的限制之下，连续小波变换和离散小波变换在形式上简单明了地统一起来了，而且连续小波变换和离散小波变换都适合空间L2（R）上的全体信号。一个最简单的正交小波，即Haar小波，其定义为这时，

7、函数族构成函数空间L2(R)的标准正交基。时频分析设g(t)∈L2(R)，而且，当时，则称g(t)是一个窗函数，它的中心E(g)和半径⊿(g)分别定义为而数值2Δ(g)称为窗函数g(t)的宽度。一般地定义窗口Fourier变换为则Cf(b,ω)给出时窗［E(g)+b-Δ(g)，E(g)+b+Δ(g)］和频窗［E(G)+ω-Δ(G)，E(G)+ω+Δ(G)］中信号的局部信息，即信号在时频窗［E(g)+b-Δ(g)，E(g)+b+Δ(g)］×［E(G)+ω-Δ(G)，E(G)+ω+Δ(G)］中的局部化信息。选定窗口函数g(t)之后，这个时频窗是一个

8、边与坐标轴平行的形状与(b,ω)无关的矩形，具有固定的面积4Δ(g)Δ(G)，这个矩形的中心坐标可用(b,ω)表示为(E(g)+b，E(G)+ω)。⑴