小波变换课件.ppt

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1、小波变换及其在图像处理中的典型应用赵丹培宇航学院图像处理中心2008年4月目录一、从傅里叶变换到小波变换的时频分析法三、尺度函数与小波四、离散小波变换与二进小波变换五、小波变换的实现六、图像的多分辨分解与重建七、小波变换在图像边缘检测中的应用八、小波变换在图像去噪中的应用九、小波变换在图像融合中的应用傅里叶变换傅里叶变换：对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。傅里叶变换x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生50HZ和300HZ的信号f=x+3.5*randn(1,length(t));%在信号中加入白噪

2、声时间短时傅里叶变换傅立叶变换无法作局部分析，为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念，即窗口傅里叶变换。基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗(反映滑动窗的位置)后，再作傅立叶变换。即：时限频限短时傅里叶变换短时傅里叶变换图1短时傅里叶变换的分析特点(a)频率变化的影响(b)基本分析单元的特点用镜头观察目标(待分析信号)。代表镜头所起的作用(如滤波或卷积)。相当于使镜头相对于目标平行移动。的作用相当于镜头向目标推进或远离。小波变换的粗略解释连续小波变换的定义连

3、续小波变换的定义尺度因子的作用是将基本小波做伸缩，越大越宽。小波的位移与伸缩连续小波变换的定义连续小波变换的定义称为一个“基小波”或“母小波”。小波变换的含义是：把基本小波(母小波)的函数作位移后，再在不同尺度下与待分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。设，当满足允许条件时：连续情况时，小波序列为：(基本小波的位移与尺度伸缩)其中为尺度参量，为平移参量。离散的情况，小波序列为：根据容许条件要求，当ω=0时，为使被积函数是有效值，必须有，所以可得到上式的等价条件为：此式表明中不含直流，只含有交流，即具有震荡性，故称为“波”，为了使具有局部性，即在有限的区间之外很快衰减为零，

4、还必须加上一个衰减条件：衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，所以称为小波。对于任意的函数的连续小波变换定义为：逆变换为：是尺度因子，反映位移。内积：卷积：持续宽度相同振荡波线性设：平移不变性若，则伸缩共变性如果的CWT是则的CWT是冗余性(自相似性)由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的连续小波的性质：多分辨分析是小波分析中最重要的概念之一，它将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分，并且多分辨分析能提供一种构造小波的统一框架，提供函数分解与重构的快速算法。小波变换的多分辨分析特性是一个无限维向量空间，称为平方可积空间，将用它的子空间，表示，

5、其中称为尺度空间，称为小波空间。尺度空间的递归嵌套关系：小波空间是和之间的差，即，它捕捉由逼近时丢失的信息。推出：多分辨率的空间关系图两尺度方程若是尺度函数，它生成的多分辨分析，则必然存在系数序列，使得以下尺度关系成立:这就是两尺度方程，必须满足下列条件：定义函数为尺度函数，若其经过整数平移和尺度上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集合：和的基本性质是二尺度差分方程：二尺度方程的频域表示为离散小波变换如果设定，则对于任意函数，定义相应的离散小波变换为：如果这时构成空间的一组规范正交基，对于任一的函数的反演式为一展开式：二进小波及二进小波变换在连续小波变换中，令参数而参

6、数仍取连续值，则有二进小波：这时，的二进小波变换定义为Mallat算法与塔式分解系数分解的快速算法：系数重构的快速算法：二维图像的小波变换实现假定二维尺度函数可分离，则有其中、是两个一维尺度函数。若是相应的小波，那么下列三个二维基本小波：与一起就建立了二维小波变换的基础。图像的小波变换实现正变换图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解为4个四分之一大小的图像。在每一层，四个图像中的每一个都是由原图像与一个小波基图像的内积后再经过在x和y方向都进行二倍的间隔抽样而生成。对于第一个层次(j=1)可写成：图像的小波变换实现将上式内积改

7、写成卷积形式，则得到离散小波变换的Mallat算法的通用公式：图像的小波变换实现图像的小波变换实现逆变换在每一层(如最后一层)都通过在每一列的左边插入一列零来增频采样前一层的4个阵列(即4个分解图像)；接着用重构低通滤波器h和重构高通滤波器g来卷积各行，再成对地把这几个的阵列加起来；然后通过在每行上面再插入一列零来将刚才所得两个阵列(图像)的大小增频采样为N×N；再用h和g与这两个阵列的每列进行卷积。这两个阵列的和就是这一层次重建的结果。Mallat二维多分辨率分解与重构Mallat快速塔式分解多孔算法多孔算法边缘