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1、1—6章内容各章约占比例：第一章15%,第二章15%,第三章25%,第四章15%,第五章15%,第六章15%,易15%,中等75%,难10%。填空题20%,计算题70%,证明题10%。课后作业题(重点),上课所讲部分习题和例题。一、绝对误差(限)和相对误差(限)、有效数字位数例1.解:绝对误差限:相对误差限:因此,可根据上述分析对有效数字有如下结果:定义：设x*是x的一个近似数，可表示为k为整数,如果则称x*为x的具有n位有效数字的近似值.有效数字例4*.k≤0.5×10k-n(n为有效数字个数)例2.求下列四舍五入近似值
2、的有效数字个数.3个3个4个4个3个5个注：四舍五入的近似值其有效数字位数等于左起第一位非零数字到末位数字的位数。叙述误差的种类与来源P2，避免误差危害的原则P10。其它：例3.3解:则由定理3.3,相对误差满足即应取4位有效数字,近似值的相对误差不超过0.1%.相关习题P21:4--------(1)--------(2)--------(3)--------(4)例求下列向量的各种常用范数解:常用的矩阵范数--------(5)--------(6)--------(7)1，2掌握；3，4了解例求矩阵A的各种常用范数解
3、:由于特征方程为参考P18例1.4.1C[a,b]上的三种常用范数：1—范数2—范数—范数例：设函数，权函数试计算和解．此外：课本p21：12(1)(2),13,15(1)(3),18定理（压缩映像定理，不动点定理）二、非线性方程求根方程f(x)=0化为迭代公式x=φ(x).由于在实际应用中根x*事先不知道，故条件
4、φ′(x*)
5、<1无法验证。但已知根的初值x0在根x*邻域，又根据φ′(x)的连续性，则可采用
6、φ′(x0)
7、<1来代替
8、φ′(x*)
9、<1，判断迭代的收敛性。定理指出，只要构造的迭代函数满足注：，比不动点定
10、理易用。定理.例：迭代过程，当至少平方收敛到时，确定的值。解：迭代函数于是牛顿(Newton)迭代法：说明：若x*是f(x)=0的一个单根，即f(x*)=0,f’(x*)0,则牛顿法在x*的邻近是平方收敛的。证明:令则所以该迭代法恰是平方收敛的.进一步计算，必有否则，得这与x*是单根矛盾.其它：熟悉斯特芬森迭代法加速公式P32(2-3-2),割线法公式P40.注：此题中x*并不是单根。例对方程xex-1=0，说明方程在[0,1]上有唯一根,并构造一种收敛的求根迭代格式，说明收敛理由。取x0=0.5，求这个根的近似值。解：
11、令f(x)=xex-1,由于f(0)=-1<0，f(1)=e-1>0,f(0)f(1)<0，于是f(x)在(0,1)内至少有一根，又由于,f(x)在[0,1]上是单调函数，于是原方程在[0,1]上有唯一根,构造牛顿迭代法因为在根x*处,必有，x*为单根时,它具有二阶收敛性.取x0=0.5,经计算可得这是迭代18次得到的计算结果。…….另：习题二作业2,7(1)(3),该迭代法一定收敛，紧凑格式分解A=LU：（掌握）1.先确定U中第一行元素（即等于A中第一行元素）.2.再确定L中第一列元素：3.确定U中第r行元素:4.再确定
12、L中第r列元素:三、解线性方程组的数值解法定理用紧凑格式分解A=LU：例：判断下矩阵A能否分解为LU形式（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能，将其分解.(P88:4(3))提示：验证A的所有顺序主子式都不等于零.用紧凑格式分解.解：例：用多利特尔分解求解方程组（掌握）解设A=LU，即解下三角方程组Ly=b，即解上三角方程组Ux=y，即掌握高斯消去法解方程组：P49例3.1.1，P87:1计算A条件数(P67)常用的条件数有：条件数的性质（了解）：(1)Cond(A)1(2)Cond(cA)=Cond(A)，其中c
13、为非零常数(3)当A是正交矩阵时，Cond2(A)=1(4)Cond2(PA)=Cond2(AP)=Cond2(A)， 其中P为正交矩阵重点例:已知A=,则条件数=16.解线性方程组的迭代法重点掌握雅可比迭代，高斯-赛德尔迭代。对线性方程组作分解P72k=0,1,2,…雅可比(Jacobi)迭代格式:称为雅可比(Jacobi)迭代矩阵Jacobi迭代的分量形式：初始向量：G-S迭代格式其中为迭代矩阵。SOR算法（了解）设解线性方程组Ax=b的迭代格式定理2.迭代格式收敛的充要条件为定理3因（1）（注：判断简单，但仅是充分而
14、不必要）定理.因为故雅可比迭代收敛。,故高斯-塞德尔迭代收敛。又，G-S迭代将1式代入2式，1、2式代入3式，有(1)(2)(3)方法2：雅可比迭代矩阵因为故雅可比迭代收敛。高斯-塞德尔迭代矩阵：故高斯-塞德尔迭代收敛。即方法3：系数矩阵A的元素满足A为严格对角占优矩阵,故雅可比迭代和塞德尔迭代都收敛.
