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1、第五章留数及其应用5.1孤立奇点5.2留数5.3留数在定积分计算中的应用1第一节孤立奇点孤立奇点的概念以及分类函数的零点与极点的关系函数在无穷远点的性态(一)孤立奇点的概念定义1如果函数在不解析,但在的某一去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.例1是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.即在的不论怎样小的去心邻域内,说明:(1)孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.根据主要部分中负幂项的多少，对孤立奇点分类：(二)孤立奇点的分类可去奇点：极点：本性奇点：孤立奇点不包含负幂项有限多个负幂项无穷多个负幂
2、项1．可去奇点f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....F(z)总结:可去奇点的判定方法2.极点有说明:特点:结论总结:极点的判定方法其中在的邻域内解析,且(1)由定义判别(2)由定义的等价形式判别(3)利用极限判断（缺点此方法无法判断级数）.例2有理分式函数是级极点,是级极点.21课堂练习解所以不是二级极点,而是一级极点.注意:不能以函数的表面形式作出结论.3.本性奇点含有无穷多个z的负幂项试问:综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存在且为有限值不存在且
3、不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为1.m级零点的定义(三)、函数的零点与极点的关系问题：例:一三2.零点的判定解：二3.零点与极点的关系定理如果是的m级极点,那么就是的m级零点.反过来也成立.例子:二级极点二级零点问题:对于一般的函数是否有类似的结论?说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.（1）定义（3）根据零点与极点间的关系.解:类似的，二级极点.四、函数在无穷远点的性态1.定义及分类Rxyo分析：判别法1(利用洛朗级数)2.判别方法判别法2:(利用极限特点)说明
4、:对无穷孤立奇点来说，它的各类型与洛朗级数中系数之间的关系跟有限孤立奇点一样，不过把正幂项与负幂项的作用互相对调了.课堂练习答案DR2c30§5.2留数留数的定义有限点留数定理及留数的求法无穷远点的留数定义一、有限远处孤立奇点的留数定义说明:函数在有限孤立奇点的留数为罗朗展开式中负一次幂前面的系数.Dc.DC.如图：根据复合闭路定理，.DC..即如图：二、留数定理及留数的求法说明:将沿闭曲线C积分问题转化为被积函数在C内各孤立奇点处的留数计算.1.留数定理在区域D内除有限个孤外处处解析,立奇点函数C是
5、D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线,那么如何计算留数?2.留数的计算方法(1)如果为的在有限远处的可去奇点,成洛朗级数求(2)如果为的本性奇点,展开则需将①若能求出洛朗展式,则负一次幂前的系数即为留数②若能提前知道孤立奇点的类型,则可以按照以下规则求:证+(含有正幂的项)[证毕]解:例2求在有限远孤立奇点处的留数．解例3解例4求解考虑：解：z=0为一级极点。例5求在的留数.解说明:在应用规则2时,为了计算方便一般不要将m取得比实际的级数高,但有时把m取得比实际的级数高反而使计算方便.如上例取m=6解令
6、为的101阶极点。将在内展开为洛朗级数：练习：计算为其中三、无穷远点的留数1.定义证..zn.....(绕原点的并将内部的正向简单闭曲线)包含在2.无穷孤立奇点与有限孤立奇点留数的关系1.优点:若有限远处孤立奇点很多，可利用无穷远点的留数来计算积分，避免了计算诸多有限孤立奇点处的留数.2.推论1：说明:3.无穷远点处留数的计算4.利用无穷远点的留数在计算积分中的应用例8计算积分C为正向圆周:函数在的外部,除点外没有其他奇点.解二可见,与解一的方法作比较,利用无穷远点的留数来计算更简单.例9计算积分C为
7、正向圆周:解除被积函数点外,其他奇点为由于与1在C的内部,则所以小结本节学习了留数的概念、计算以及留数定理.应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极点处留数的求法,并会应用留数定理计算闭路复积分.§5.3留数在定积分计算中的应用一、形如的积分二、形如的积分三、形如的积分一、形如的积分解例1计算的值。(2)函数有两个孤立奇点：在内，二阶极点一阶极点(1)令则(3)(注意：一阶极点不在内)(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高二次；(3)R(z)在实轴上没有孤立奇点要求(1)方法二、形如的积分其
8、中为多项式；其中，是上半平面内的孤立奇点。在上半平面内，ai与bi为一阶极点。(1)令解(2)(3)例2计算三、形如的积分(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高一次；(3)分母Q(x)无实零点。方法要求(1)其中为多项式；其中，是上半平面内的孤立奇点。例3解：试问:在上半平面内，1+3i为一阶极点。(1)令解(2)ex1计算(3)(2)
