《留数及其应》ppt课件

《《留数及其应》ppt课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章留数及其应用5.1孤立奇点5.2留数5.3留数在定积分计算上的应用§5.1孤立奇点函数不解析的点称为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<

2、z-z0

3、

4、z-z0

5、

6、

7、z-z0

8、

9、z-z0

10、

11、+c-m+2(z-z0)2+...,在

12、z-z0

13、

14、(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是:f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成其中在z0解析且,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.因为,若f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，易证z0是f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数c0=c1=...=cm-1=0,cm0,等价于f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m

15、-1),f(m)(z0)0。例如z=1是f(z)=z3-1的零点,由于f‘(1)=3z2

16、z=1=30,从而知z=1是f(z)的一级零点.所以在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.由于中的在z0解析,且故必在z0连续,所以给定该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.例3对讨论函数在处的性态。§5.2留数留数的定义如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那么根据柯西积分定理但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0<

17、z-z0

18、

19、单闭曲线C的积分未必再等于零.(先回顾P40例3.1.1)两端沿C逐项积分:定义Dz1z2z3znC1C2C3CnC定理一设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则2.留数定理证明把C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注意检查定理中的条件要满足。例如不能应用留数定理。求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(z-z0)-1项的系数c-1即可.但如果知

20、道奇点的类型,对求留数会更有利.如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇点,则只好将其展开成洛朗级数.如果z0是极点,则有如下规则:3.(极点)留数的计算规则规则2如果z0为f(z)的m级极点,则事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,规则1如果z0为f(z)的一级

21、极点,则令zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得规则2,当m=1时就是规则1。即得规则3。由规则1,得我们也可以用规则3来求留数:比用规则1更简单!例4解：z=0为一级极点。例5解：原式=*§5.3.在无穷远点的留数f(z)在圆环域R<

22、z

23、<内解析：理解为圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。的值与C无关,称其为f(