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时间:2020-09-14
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1、第2章序列的傅立叶变换与Z变换(34)2.1序列的傅里叶变换(9)2.2傅里叶变换的对称性质(2)2.3序列的Z变换(3)2.4Z反变换(3)2.5Z变换的基本性质和定理(12)2.6序列的Z变换与连续信号的拉氏变换及傅里叶变换的关系(1)2.7系统离散的频率特性(4)2.3序列的Z变换2.3序列的Z变换(3)2.3.1Z变换的定义2.3.2Z变换的收敛域2.3.3不同形式序列Z变换的收敛域1.有限长序列2.右序列3.左序列4.双边序列2.3序列的Z变换2.3.1Z变换的定义双边Z变换:序列x(n
2、)的双边Z变换定义为(2.3.1)式中z是一个复变量,它所在的复平面称为z平面。注意在定义中,对n求和是在±∞之间求和。这种单边Z变换的求和限是从零到无限大,因此对于因果序列,用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明,均用双边Z变换对信号进行分析和变换。(2.3.2)单边Z变换:2.3.2Z变换的收敛域Z变换存在的条件:(2.3.1)式等号右边级数收敛,要求级数绝对可和,即(2.3.3)图2.3.1Z变换的收敛域收敛域(ROC:regionofconvergence):使(2.3.
3、3)式成立,Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示常用的Z变换是一个有理函数,用两个多项式之比表示X(z)的零点:分子多项式P(z)的根;X(z)的极点分母多项式Q(z)的根;在极点处Z变换不存在,因此收敛域中没有极点,收敛域总是用极点限定其边界。FT和ZT之间的关系:对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式,很容易得到下式式中z=ejω表示在z平面上r=1的圆,该圆称为单位圆。(2.3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换,可用(2.3.4)式,很方便的
4、求出序列的FT,条件是收敛域中包含单位圆。(2.3.4)例2.3.1x(n)=u(n),求其Z变换。解:
5、z
6、>1傅里叶变换存在Z变换存在傅里叶变换不存在Z变换存在一定收敛域X(z)存在的条件是
7、z-1
8、<1,因此收敛域为
9、z
10、>1,由x(z)表达式表明,极点是z=1,单位圆上的Z变换不存在,或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在(但如果引进奇异函数δ(ω),其傅里叶变换可以表示出来)。2.3.3不同形式序列Z变换的收敛域1.有限长序列2.右序列3.左序列4.双边序列序列的特性决定其Z变
11、换收敛域,了解序列特性与收敛的一些一般关系,对使用Z变换是很有帮助的。如序列x(n)满足下式:x(n)n1≤n≤n2x(n)=0其它即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零,此范围之外序列值为零,这样的序列称为有限长序列。1.有限长序列其Z变换为设x(n)为有界序列,由于是有限项求和,除0与∞两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外,整个z平面均收敛。如果n1<0,则收敛域不包括∞点;如n2>0,则收敛域不包括z=0点;如果是因果序列,收敛域包括z=∞点。具体有限长序列的收敛域表示如下:n1<0,n
12、2≤0时,0≤z<∞n1<0,n2>0时,00时,013、z14、15、<∞。第二项为因果序列,其收敛域为Rx-<16、z17、≤∞,Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与,其收敛域为Rx-<18、z19、<∞。如果是因果序列,收敛域定为Rx-<20、z21、≤∞。例2.3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解:在收敛域中必须满足22、az-123、<1,因此收敛域为24、z25、>26、a27、。3.左序列左序列是在n≤n2时,序列值不全为零,而在n>n1,序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为第二项为有限长序列,其收敛域为有z平面。第一项其收敛域为0<28、z29、30、径。将两收敛域相与,其收敛域为0<31、z32、33、z34、35、a-1z36、<1,即收敛域为37、z38、<39、a40、4.双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和,其Z变换表示为X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+>Rx-,其收敛域为Rx-<41、z42、
13、z
14、
15、<∞。第二项为因果序列,其收敛域为Rx-<
16、z
17、≤∞,Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与,其收敛域为Rx-<
18、z
19、<∞。如果是因果序列,收敛域定为Rx-<
20、z
21、≤∞。例2.3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解:在收敛域中必须满足
22、az-1
23、<1,因此收敛域为
24、z
25、>
26、a
27、。3.左序列左序列是在n≤n2时,序列值不全为零,而在n>n1,序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为第二项为有限长序列,其收敛域为有z平面。第一项其收敛域为0<
28、z
29、30、径。将两收敛域相与,其收敛域为0<31、z32、33、z34、35、a-1z36、<1,即收敛域为37、z38、<39、a40、4.双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和,其Z变换表示为X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+>Rx-,其收敛域为Rx-<41、z42、
30、径。将两收敛域相与,其收敛域为0<
31、z
32、33、z34、35、a-1z36、<1,即收敛域为37、z38、<39、a40、4.双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和,其Z变换表示为X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+>Rx-,其收敛域为Rx-<41、z42、
33、z
34、35、a-1z36、<1,即收敛域为37、z38、<39、a40、4.双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和,其Z变换表示为X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+>Rx-,其收敛域为Rx-<41、z42、
35、a-1z
36、<1,即收敛域为
37、z
38、<
39、a
40、4.双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和,其Z变换表示为X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+>Rx-,其收敛域为Rx-<
41、z
42、
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