线代复习资料二.doc

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1、线代复习资料二模块四、向量组的线性相关性一、线性表示的判别①、可以由线性表示（定义）有解（其中）（非齐次线性方程组）②、向量组能由向量组线性表示有解；（矩阵方程）③、向量组与向量组等价二、线性相关的定义及判别1、线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；（齐次线性方程组），系数矩阵的秩小于未知数的个数；2、①、线性相关；②、线性相关坐标成比例或共线（平行）；③、线性相关共面；3、含有零向量的向量组一定线性相关；4、n+1个n维向量一定线性相关；5、线性无关，线性相关6、①、本身相关添加向量仍相关（向量

2、个数增加）②、本身相关缩短向量仍相关（向量维数减少）③、本身无关减少向量仍无关（向量个数减少）④、本身无关伸长向量仍无关（向量维数增加）7、n个n维向量相关8、，则必有线性无关9、对于矩阵，①、②、10、①、对矩阵，存在，、的列向量线性无关；②、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；11、正交向量组（两两正交的非零向量）一定线性无关三、最大无关组1、定义：设A是一个维向量组，如果：I、向量组A中有个向量线性无关；II、且向量组A中任何个向量线性相关，则称是向量组A的一个最（极）大线性无关组。2、等价定义：条件II换为II：A中任意向

3、量可由表示。3、向量空间：向量组关于加法和数乘运算封闭4、空间的基（就是最大无关组）和维数（就是秩）5、过渡矩阵6、规范正交基模块五、相似矩阵一、特征值和特征向量的求法及性质1、定义：设为阶矩阵，是一个数，若存在一个维非零列向量使：，则称是的一个特征值，相应的非零列向量称为的属于特征值的特征向量。2、求特征值：（特征方程的根就是特征值）。3、求特征向量：（该齐次方程组的所有非零解是特征向量）。4、特征值和特征向量的性质①、的特征值是的多项式的特征值为，如：的特征值为，且与有相同的特征向量。②、对于阶方阵，恒有：行列式的值；轨迹。

4、③、若，则知:是的一个特征值。④、若是的两个特征值，使:，则线性无关,且不是的特征向量。⑤、若是一般方阵，不同的特征值对应的特征向量线性无关。⑥、若是对称矩阵，不同的特征值对应的特征向量正交。二、正交矩阵1、定义：若，则称为正交矩阵.2、性质：若为正交矩阵，则①、。②、。③、若均为正交阵，则仍为正交阵。④、为正交矩阵的列向量为单位向量且两两正交的列向量为n维空间的一个规范正交基。三、相似矩阵定义及共同点1、定义：设为两个阶方阵，如果存在一个可逆矩阵，使得：，则称矩阵与相似。从到称为对进行相似变换，称为相似变换矩阵。2、相似，则他

5、们有5个共同点：①、特征多项式②、特征值（注意：特征值相同的矩阵未必相似）③、轨迹④、行列式⑤、矩阵的秩3、相似则下列任两对矩阵均满足相似关系：；；；。4、对于n阶方阵，若存在对角阵使得与相似，则称可以对角化。四、矩阵相似对角化的判别和步骤（一）、判别：①、一般n阶方阵可以对角化有n个线性无关的特征向量（因为单根特征值必有自己的特征向量，所以只需k重根特征值有k个线性无关的特征向量）。②、有n个不同的特征值（即特征值均为单根）可以对角化。③、n阶实对称矩阵一定可以对角化。（二）步骤：1、一般n阶方阵：①、求出n个特征值（重根有几

6、个写几个）②、求出相应的特征向量③、下结论：令，则可逆，且（注意特征值和特征向量顺序一致）2、n阶对称矩阵：①、求出n个特征值（重根有几个写几个）；②、求出相应的特征向量；③、正交化（施密特正交化方法），单位化得到新的特征向量：；④、下结论：令，则为正交阵，且）（此时与既相似又合同）。模块六、二次型一、合同矩阵1、定义：①、二次型：二次型就是一个多元二次函数，常可以写为矩阵乘法的形式。的矩阵形式为：，式中。对称阵称为二次型的矩阵，二次型称为对称阵的二次型。②、合同矩阵：设、均为阶实对称矩阵，为阶可逆（满秩）矩阵，若：，称矩阵与合

7、同。从到称为对进行合同变换，称为合同变换矩阵。2、合同矩阵的判别：与合同与有相同的正、负惯性指数；二、二次型化为标准型的步骤1、写出对应的对称矩阵；2、求出n个特征值（重根有几个写几个）；3、求出相应的特征向量；4、正交化（施密特正交化方法），单位化得到新的特征向量：；5、组合出相似变换矩阵：令，则为正交阵，且）（此时与既相似又合同）。6、下结论：令，则。三、二次型正定性的判别1正定特征值全正的正惯性指数为n一切顺序主子式全大于0与合同正定存在可逆矩阵，使；2负定特征值全负的负惯性指数为n顺序主子式符号-、+交替与-合同负定-正

8、定；3若正定，则：，，也是正定的；四、等价矩阵、相似矩阵、合同矩阵的关系1、与等价经过初等变换得到；，、可逆；，、同型；2、与合同，其中可逆；与有相同的正、负惯性指数；3、与相似；4、若矩阵为实对称矩阵，则相似一定合同，合同一定等价；5、两方阵相似不一定合同，合