第二章-4.1导数的加法与减法法则.docx

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1、§4　导数的四则运算法则4．1　导数的加法与减法法则[学习目标]1．理解导数的加法与减法法则的推导方法．2．掌握导数的加法与减法法则．3．会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算．[知识链接]利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么？答　应用的前提条件是：①必须是有限个函数和(差)的形式；②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出．[预习导引]1．导数的加法与减法法则(1)符号语言①[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)．②[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．(2)文字语言两个

2、函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)．2．两个函数和差的求导法则的推广(1)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)(a，b为常数)．(2)[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　要点一　直接利用法则求导数例1　求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝1＋sincos；(3)y＝x；(4)y＝(＋1).解　观察式子的特点，可以先化简再求导．(1)∵y＝x＋2＋，∴y′＝1－.(

3、2)∵y＝1＋sincos＝1＋sinx，∴y′＝cosx.(3)∵y＝x＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(4)∵y＝(＋1)＝－＋，∴y′＝(－)′＋′＝－－＝－.规律方法　对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．跟踪演练1　求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋3x＋；(2)y＝sin4＋cos4.解　(1)y′＝′＝′－′＋(3x)′＋()′＝x4－4x2＋3.(

4、2)∵y＝2－2sin2cos2＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，∴y′＝－sinx.要点二　求导法则的逆向应用例2　已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式．解　由f′(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，f′(x)代入关于x的方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，又该方程对一切x∈R恒成立，

5、所以解得所以f(x)＝2x2＋2x＋1.规律方法　待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．跟踪演练2　设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式．解　∵f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c＝0，即c＝，∴f(x)的表达式为f

6、(x)＝x2＋x＋.要点三　导数的应用例3　已知函数f(x)＝x3＋x，求函数在点(2,10)处的切线方程．解　f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋(x)′＝3x2＋1.∴f′(2)＝3×22＋1＝13.∴所求切线的斜率是13.∴切线方程为y－10＝13(x－2)，即13x－y－16＝0.∴所求切线的方程是13x－y－16＝0.规律方法　导数的几何意义是曲线的切线的斜率，对较复杂函数的求导，可利用导数公式和运算法则．跟踪演练3　已知函数f(x)＝sinx＋cosx，求曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程．解　∵f′

7、(x)＝(sinx＋cosx)′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx，∴f′＝cos－sin＝0.∴曲线y＝f(x)在x＝处的切线斜率为0.又f＝，∴所求切线方程为y＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．函数f(x)＝sinx＋x的导数是(　　)A．f′(x)＝cosx＋1B．f′(x)＝cosx－1C．f′(x)＝－cosx＋1D．f′(x)＝－cosx＋x答案　A2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　)A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4

8、x－5答案　B解析　∵y′＝3x2－6x，∴曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－3.∴切线方程为y＝－3x＋2.3．已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为________．答案　14解析　g′(x)＝f′(x)＋1，∴g′(1)＝f′(1)＋1＝14.4．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为________．答