第一讲----集合的概念.doc

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1、第一讲集合的概念（2012-7-7）例1已知集合，，若，求整数的值．例2设A是两个整数平方和的集合，即．（1）证明：若，则；（2）证明：若，则其中是有理数．例3设函数，集合，．（1）证明：；（2）当时，求集合B．例4集合A、B、C（不必相异）的并集．求满足条件的集合的有序三元组（A，B，C）的个数．例5设，集合都是的真子集，，求证集合A或B中，必有两个不同的数，它们的和我为完全平方数．作业：已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由

2、；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.理由是；②是的一个二元基底.理由是，.………………………………3分（Ⅱ）不妨设，则形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即.………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.*假设为的一

3、个4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或.如果，则由，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.当时，均不可能是的4元基底.当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，的最小可能值为5.………………14分