第一讲 集合的概念与运算

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1、第一讲集合的概念与运算例题精讲板块一元素与子集元素与子集是集合中最基本的概念.其基本题型如下：1、根据给定的集合性质确定某元素是否属于某集合或确定某待定元数值；2、对数集中的元素按某种规律排序并找出其中某个特定元素；3、对某集合中元素按特定运算规则进行计算4、确定满足某条件的子集个数基本解题思路有：利用集合的互异性；分类讨论或枚举；对数集的元素排序；反证法等【例1】已知,,且.求x的所有可能值个数【例2】已知数集具有性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于．（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）证明：，且；【例3】已知集

2、合，,，且，则整数对的个数为（）A.20B.25C.30D.42【例4】已知任意的记集合，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是A.B.C.D.【例5】设，，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【例6】已知a为给定的实数，那么集合M＝{x

3、x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为()A.1B.2C.4D.不确定5高一·联赛班·第1讲·教师版【变式】一个n元集的子集个数有多少个？非空子集个数有多少个？【例1】对于集合和它的每一个非空子集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始

4、交替地加减各数.例如：的交替和为，{5}的交替和为5.对于n=7,求所有这些交替和之和.板块二集合的运算集合的基本运算包括交并补运算，.其基本题型如下：1、给定两个或多个集合对其做复杂的复合运算，只要先利用函数或解析几何等相关知识确定原始集合，就可以按部就班地计算出最后结果.2、题目中对集合定义某种新运算，要求按新运算来进行计算.但第一类题型往往要用到很多高中的知识作为基础，因此放在以后的章节中逐渐渗透.【例2】集合A=，B=，求,【例3】定义集合运算：，设A={2,0},B={0,8}，则集合的所有元素之和为（）A.16B.18C.

5、20D.22【例4】已知集合对于，，定义A与B的差和距离分别为（Ⅰ）当n=5时，设，求，；（Ⅱ）证明：，且;(Ⅲ)证明：三个数中至少有一个是偶数板块三有限集的阶定义：有限集A的元素数目叫做这个集合的阶，记作

6、A

7、.注：高考中常记作card(A),本讲义中一律写作

8、A

9、.求集合的阶的问题通常与组合相关，特别是求满足某给定条件的子集的阶的最大值问题通常难度很大.这类问题在竞赛中变化极多，难以掌握.此处仅举数例说明，更深层次的问题将在学完组合基础之后再来学习.5高一·联赛班·第1讲·教师版【例1】设集合.【例2】S是的一个子集，且S中任两数

10、之差不能为4或7,（1）证明：原集合中任11个连续整数中最多有5个能是S中元素.（2）试求【例3】已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（）A.62B.66C.68D.74【例4】已知集合是集合的子集，且对任意，都有，则集合中的元素最多有多少个？【变式】已知集合是集合的子集，且对任意，都有，则集合中的元素最多有（）（A）67个　　　　（B）68个　　　　（C）69个　　　　　（D）70个大显身手1．集合M=，N=.M,N

11、的关系为（A）M=N　（B）　（C）M为N的真子集　（D）N为M的真子集2．设集合A的元素都是正整数，满足以下条件：(1)A的元素个数不小于3；(2)若，则a的所有因数都属于A；(3)若，1

12、素之和为224.求集合A.5高一·联赛班·第1讲·教师版1．设,A是M的子集且满足条件：当时，，求.若将15换为17,19又如何.译者序：本文译自澳大利亚数学家TerenceTao的近作“WhatisGoodMathematics?”。Tao是调和分析、微分方程、组合数学、解析数论等领域的大师级的年轻高手。2006年，31岁的Tao获得了数学界的最高奖Fields奖，成为该奖项七十年来最年轻的获奖者之一。美国数学学会(AMS)对Tao的评价是：“他将精纯的技巧、超凡入圣的独创及令人惊讶的自然观点融为一体”。著名数学家CharlesFe

13、fferman(1978年的Fields奖得主)的评价则是：“如果你有解决不了的问题，那么找到出路的办法之一就是引起TerenceTao的兴趣”。1.数学品质的诸多方面我们都认为数学家应该努力创造好数学。但“好数学”该如