高数下册总复习.ppt

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1、（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定（1）（一）（2）设则（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定（3）曲面在某点处的法线方程的确定要点：I：曲面在某点处的法线方程的确定（1）设曲面方程为第一步：计算第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程（2）设曲面方程为第一步：取第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程3、典型例题解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直

2、线的方程例2：设直线L和平面的方程分别为则必有（）解：C要点：I、方向导数与梯度的计算II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III：隐函数的偏导数的计算；例1：设答案：IV：多元函数极值（条件极值和无条件极值）；（二）隐函数存在定理的应用、方向导数与梯度的计算、复合函数高阶偏导函数的计算、多元函数极值（含条件极值和无条件极值）；例:(1)函数在点处沿哪个方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值.例1：设例3：设求(2)求函数在点处沿到点的方向上的方向导数例3：设求解：zxyuxyu例4：设答案：例5：

3、设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得例6：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求出问题1的所有可能的极值点。问题1：求函数z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0下的极值（称为条件极值问题）。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。（3）条件极值。例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为问题1：在约束条

4、件下，求距离d的最大最小值。由于d中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题1转化为下面的等价问题问题2：在条件下，求函数的最大最小值。问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离为例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。求得两个驻点：对应的距离为（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以最近距离为最远距离为三、二重积分和式极限定义、

5、二重积分积分次序的交换、二重积分（直角坐标、极坐标）的计算、三重积分（柱面坐标）计算；重点内容（1）二重积分在直角坐标下的计算；答案：例1：计算二重积分答案：三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容（2）二重积分中二次积分的交换次序；答案:例2：试证：解积分区域分为两块例2：试证：证明：画出积分区域D由图可知D又可以写成X型区域（3）利用极坐标计算二重积分；再根据D的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。例3:计算由直线y=x及曲线所围平面区域。（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积

6、分；在二重积分的计算过程中，要注意对称性。例5：计算其中D由直线y=x,y=1,及x=1所围平面区域解（5）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；例6：提示：再对用“先二后一”的方法计算，并用对称性给出另外两项的结果。例7：提示：利用对称性、被积函数奇偶性及“先二后一”法（6）利用柱面坐标计算三重积分例8：绕z轴旋转一周而成曲面与平面z=8所围空间立体四、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；（2）基本公式格林

7、公式高斯公式主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分（3）基本应用：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2.平面曲线积分“封口法”和“挖洞法”。与路径无关在单连通区域G内（4）基本计算技巧1.利用对称性；2.利用曲线或曲面方程化简被积函数；3.利用关系式将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；4.利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积分。例1：设椭球面的表面积为a，则20a提示：利用曲面方程及对称性例2：设则提示：利用曲线方程及对称性0例3：提示：利用高

8、斯公式及椭球体的体积。例4：设f(x)在(0,+)上有连续的导数，L是由点提示：利用积分与路径无关，并取新路径：A(1,2)到点B(2,8)的直线段，计算（30）例5：计算由抛物面与圆柱面及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标例6：计算再由坐标原点沿x轴到B(2,0)。解：其中，L为由点A(1,1)沿曲线到坐标原点，分析：应用格林公式补充：五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、幂级数的收敛域，