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1、3.优化模型实例例1钢管下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19米长。1)现有一客户需要50根4米长、20根6米长和15根8米长的钢管。应如何下料最节省？2)零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要1）中的三种钢管外，还需要10根5米长的钢管。应如何下料最节省？问题1）的求解问题分析首先，应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。例如
2、，我们可以将19米长的钢管切割成3根4米长的钢管，余料为7米显然，可行的切割模式是很多的。其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸。在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如表1所示。表1钢管下料的合理切割模式4米钢管根数6米钢管根数8米钢管根数余料（米）模式14003模式23101模式32013模式41203模式51111模式60301模式70023问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小
3、，二是切割原料钢管的总根数最少。下面将对这两个目标分别讨论。模型建立决策变量用xi表示按照第i种模式（i=1,2,…,7）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。决策目标以切割后剩余的总余料量最小为目标，则由表1可得(32)以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有(33)下面分别在这两种目标下求解。约束条件为满足客户的需求，按照表1应有程序见cut1.lg4和cut2.lg4xi~按第i种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)约束满足需求决策变量目标1（总余量）按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米模式4米根数6米根数8米根数余料140
4、03231013201341203511116030170023需求502015最优解：x2=12,x5=15,其余为0；最优值：27整数约束：xi为整数当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标目标2（总根数）钢管下料问题1约束条件不变最优解：x2=15,x5=5,x7=5,其余为0；最优值：25。xi为整数按模式1切割5根，按模式2切割5根，按模式5切割15根，共25根，余料35米虽余料增加8米，但减少了2根与目标1的结果“共切割27根，余料27米”相比问题2）的求解问题分析按照解问题1）的思路，可以通过枚举法首先确定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢
5、管规格增加到4种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍性的方法。同1）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸（本题中为4米），切割计划中只使用合理的切割模式，而由于本题中参数都是整数，所以合理的切割模式的余量不能大于3米。此外，这里我们仅选择总根数最少为目标进行求解。模型建立决策变量由于不同切割模式不能超过3种，可以用xi表示按照第i种模式（i=1,2,3）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产4米长、5米长、6米长
6、和8米长的钢管数量分别为r1i,r2i,r3i,r4i（非负整数）。决策目标以切割原料钢管的总根数最少为目标，即目标为（37）约束条件为满足客户的需求，应有(38)(39)(40)(41)每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过19米，也不能少于16米（余量不能大于3米），于是(42)(43)(44)增加以下约束模型求解（37）~（44）构成这个问题的优化模型。由于在（38）~（41）式中出现了决策变量的乘积，所以这是一个整数非线性规划模型，虽然用LINGO软件可以直接求解，但我们发现在较低版本的LINGO软件中需要运行很长时间也难以
7、得到最优解。为了减少运行时间，可以增加一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围。例如，由于3种切割模式的排列顺序是无关紧要的，所以不妨增加以下约束：（45）又例如，我们注意到所需原料钢管的总根数有着明显的上界和下界。首先，无论如何，原料钢管的总根数不可能少于（根）其次，考虑一种非常特殊的生产计划：第一种切割模式下只生产4米钢管，一根原料钢管切割成4根4米钢管，为满足50根4米钢管的需求，需要13根原料钢管；第二种切割模式下只生产5米、6米钢管，一根原料钢管切割成1根5米钢管和2根6米钢管，为满足10根5米和20根6米钢管的需求，需要10根原料钢管；第三
8、种切割模式下只生产8米钢管，一根原料钢管切割成2根8米钢管，为满足
