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1、数学建模培训系列讲座最优化与离散模型数学建模：最优化问题最优化问题大体分两类：一类是求函数在一定约束条件下的极值;另一类是求泛函的极值.这里的函数我们称之为目标函数.目标函数中的变量称之为决策变量.约束条件是指问题对决策变量的限制条件,即决策变量的取值范围.约束条件常用一组关于决策变量的等式与不等式给出.如果目标函数有明显的表达式,一般可用微分法,变分法或动态规划等分析方法来求解(间接求优);如果目标函数的表达式过于复杂甚至根本没有明显的表达式,则可用数值方法或“试验最优化”方法等直接方法来求解(直接求优).求
2、函数极值的数值方法或试验化方法有时称为数学规划.数学规划除了线性规划外统称为非线性规划.求解数学规划的软件:LINDO,LINGOLINDO(LinearINteractiveandDiscreteOptimizer)交互式的线性和离散优化求解器LINGO(LinearINteractiveandGeneralOptimizer)交互式的线性和通用优化求解器模型实例:存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间
3、内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。第一讲简单的优化模型问题分析与思考每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。20天生产一次，每次
4、2000件，贮存费2900+2800+…+100=28500元，准备费5000元，总计33500元。平均每天费用950元平均每天费用1675元平均每天费用5000元周期短，产量小周期长，产量大贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使平均费用（二者之和）最小这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮
5、存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2模型求解求T使模型分析模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)回答问题经济批量订货公式（EOQ公式）每天
6、需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，这就是经济学中著名的用于订货、供应、存贮情形的以上讨论的是不允许缺货的存贮模型问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。总结则最优解为:允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足T一周期贮存费一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零一周期总费用每天
7、总费用平均值（目标函数）一周期总费用求T,Q使为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T’,Q记作Q’允许缺货模型0qQrT1tT′注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R（或订货量）Q~不允许缺货时的产量(或订货量)不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货下面将进入数学规划模型数学规划模型实际问题中的优化模型x~决策变量f(x)~目标函数gi(x)0~约束条件多元函数条件极值决策变量个数n和约束条件个数m较大最优解在可行域的边界上取得数学规划线性规划非线性规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析
8、第二讲数学规划模型企业生产计划§2.1奶制品的生产与销售空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。本节课题例1加工奶制品的生产计划问题:一奶制品加工厂
