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1、6.2统计量及其分布数理统计的任务之一，是利用样本提供的信息对总体的情况进行推断.利用经验分布函数和直方图可以粗略地描述和估计总体的分布，但还不够精确.因此，需要对样本观测值进一步加工整理,即针对具体问题构造适当的函数—统计量,利用这些函数来进行统计推断,揭示总体的统计特性.定义6.2.1设X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本,称此样本的不含任何未知参数的函数为样本的统计量.思考题：设在总体中抽取样本中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？答：只有(4)不是统计量.6.2.1常用统计量样本均值设X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本,x1,x2,…,xn为该样本的观察值.反映了总体
2、均值的信息(修正)样本方差(修正)样本标准差反映了总体方差的信息样本k阶原点矩样本k阶中心矩总体方差的估计可以用也可以用B2，主要的区别是作为总体方差估计是无偏估计，但B2作为总体方差估计是有偏的.（下一章介绍）上述各统计量的观察值常用小写字母表示.如样本均值的观察值为6.2.1统计学常用的重要分布统计量的分布称为抽样分布.在研究数理统计的问题时，往往需要知道所讨论的统计量的分布.从理论上而言，只要知道了总体X的分布，统计量的分布即可求出来，但实际操作起来比较困难.在实际中最常遇到的是服从正态分布的总体，称为正态总体.即使不是正态总体，当n很大时，也可以用正态分布近似.来自正态总体的
3、三个广泛使用的分布：1）χ2分布(卡方分布)定义6.2.2设X1,X2,…,Xn是取自标准正态总体N(0,1)的样本,则称统计量服从自由度为n的χ2分布,记为说明：①自由度是指（6.2.1）式右端所包含的独立变量的个数.分布的概率密度为②（了解，不用记）定义性质重要积分补充知识:Γ-函数③分布的可加性:相互独立，则④分布的期望与方差为：性质的进一步推广：相互独立，则⑤对给定的α（0<α<1），称满足条件的点为分布的上α分位点.注：对不同的n和α，分位点的值可查表.（P85:附表4）例如，f(x)xO标准正态分布的上α分位点定义：设X~N(0,1),对给定的α(0<α<1),称
4、满足条件的点为标准正态分布的上α分位点.例6.2.2设X1,…,X10为N(0,0.32)的一个样本,求解（即查表知，α=0.1）=0.12）t分布定义6.2.3设X～N(0,1)，Y～χ2(n)，服从自由度为n的t分布(或称学生氏分布),记为且X与Y相互独立，则称说明：①t分布的概率密度为偶函数当n充分大(n>45)时，t分布近似于标准正态分布.但对于较小的n,t分布与标准正态分布相差很大.②③对给定的α（0<α<1），称满足条件的点为t分布的上α分位点.f(t)tOt(n)注：由对称性知查附表3(P84):解即n=4,α=0.01,查表知，例6.2.3设X～N(2,1)，Y1
5、,Y2,Y3,Y4均服从N(0,4)，且X,Yi(i=1,2,3,4)都相互独立，令试确定T的分布，并确定t0的值，使3）F分布定义6.2.4设X～χ2(m)，Y～χ2(n)，服从自由度为(m,n)的F分布,记为且X与Y相互独立，则称第一自由度第二自由度说明：①F分布的概率密度为若F～F(m,n),则②F分布的性质：若，则（补）③若F~F(n,m),对给定的α(0<α<1),称满足条件的点为F(n,m)分布的上α分位点.查附表5(P86):F（n,m）分布上α分位点有如下性质：(例6.2.5)解例6.2.4设总体X～N(0,4)，X1,X2,…,X15是来自总体X的一个样本，问统计量
6、服从何分布？且独立！6.2.3正态总体的常见统计量的分布结论：设总体X(无论什么分布)满足是取自总体X的一个样本,则有证结论：设总体X(无论什么分布)满足是取自总体X的一个样本,则有证1）单个正态总体的情况定理6.2.1,6.2.2,6.2.3设总体是X的一个样本，则相互独立；解(1)例6.2.6设X～N(21,22)，X1,X2,…,X25是为X的一个样本，求：(1)的期望和方差；(2)(2)解(1)(2)例6.2.7从正态总体中抽取容量为16的一个样本，若未知，求及（查表）2）两个正态总体的情况（不要求）定理6.2.4设分别来自与正态总体的样本，且这两个样本相互独立，分别为两样本
7、的样本均值与样本方差.记则：(2)当时，3）一般非正态总体的情况设为来自均值为μ，方差为σ2的总体的一个样本，则当n充分大时，近似地有课堂练习：单元测试：P50：（一）1，2，3，4；（二）1，2，3，4，5.作业：综合练习：P48~49：1（1），6（1）；单元测试：P51：2.1.设为来自正态总体的样本.，试求的值，，并求自由度.若解于是因此，当时，X服从自由度为2的分布.使
