《不等关系》习题课课件（北师大版必修5）.ppt

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1、1．1不等关系1．2比较大小1.不等式与等式之间主要有哪些异同？不等式与等式是生活、生产实践中最常见的关系式，其相异的性质主要在与数相乘时，不等式两边乘(除以)的数的符号不同时，结论不同；而等式则不然．等式与不等式的性质对比如下表：2.不等式的证明或比较实数大小有哪些方法及注意事项呢？证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法．(1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决：①一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作

2、，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系．(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论，或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符号．(3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.[例1]对于实数a、b、c，判断下列命题的真

3、假：(1)若a>b，则ac>bc；(2)若a>b，则ac2>bc2；(3)若aab>b2；(4)若abc2，则a>b，此命题是真命题；(3)aab；ab2，命题是真命题；[变式训练1]如果a>b，则下列各式正确的是()A．a·lgx>lgx·b(x>0)B．ax2>bx2C．a2>b2D．a·2x>b·2x解析：对于A：当x

4、>0时，lgx∈R，当lgx≤0时，a·lgx>b·lgx(x>0)不成立，故应排除A；对于B：∵x∈R，当x＝0时，ax2＝bx2，∴ax2>bx2不成立，故应排除B；对于C：∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，又由a>b可知a－b>0，但是a＋b的符号是不确定的，因此a2>b2不成立，故应排除C；对于D：由指数函数的性质可知，2x>0，又∵a>b，∴a·2x>b·2x成立，故选择D.答案：D实数(或式)比较大小的依据是a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a0，b>0时，>1⇔a>b)．方法步骤是作差(商)——变形——判断大于或小于零(大于1或小于1)．关键是变

5、形，变形的目的在于便于判断正负．常见的变形有因式分解、配方等．[例2]已知x>1，比较x3＋6x与x2＋6的大小．解析：∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)，∵x>1，∴(x－1)(x2＋6)>0，∴x3＋6x>x2＋6.[变式训练2]设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．[例3]比较aabb与abba(a、b为不相等的正数)的大小．[变式训练3]若m>0，比较mm与2m的大小．[例4]已知a>0，试比较a与的大小．[变式训练4]已知a，b均为正数，n∈N*，比较(a＋b)(an＋bn)与2(an＋1

6、＋bn＋1)的大小．解析：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1＝abn＋anb－an＋1－bn＋1＝a(bn－an)＋b(an－bn)＝(a－b)(bn－an)，∵a、b∈R＋，n∈N*，且n≥1，∴①当a>b>0时，a－b>0，bna>0时，a－b<0，bn>an.∴(a－b)(bn－an)<0.③当a＝b>0时，a－b＝0.所以(a－b)(bn－an)＝0.综上所述，(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)≤0.即(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn

7、－1)．[例5](一题多解)求证：⇒a>b.分析：本题可以用比较法证明；也可以用不等式性质得到证明．[变式训练5]已知a>b，cb－d.证明：证法1：由a>b知a－b>0，由c0，∵(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)>0，∴a－c>b－d.证法2：∵c－d.又∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d.[例6]求下面题目中的取值范围．(