2019年线代复习终极资料ppt课件.ppt

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1、第二章重点注：用矩阵的初等变换可解决：判别矩阵是否可逆并求可逆矩阵的逆矩阵；解矩阵方程；求矩阵的秩；求矩阵的标准形。（矩阵的初等变换还有许多用处，见以后各章）矩阵可逆的判别、矩阵的秩的概念、矩阵的初等变换。1.逆矩阵的运算规则(A,B皆为方阵)三、一些结论2.n阶方阵A可逆的充要条件A可逆3.关于矩阵秩的关系式第三、四章内容总结一、理论发展脉络秩、最大无关组线性相关基、维数向量组等价讨论基础解系、维数解的结构向量AX=0的解空间向量组向量空间AX=b1向量解线性方程组矩阵的秩求向量组的秩和最大无关组2矩阵求向量空间的基和维数矩阵矩阵的初等变换判别向量组的线性

2、相关性求向量在基下的坐标解矩阵方程求可逆矩阵的逆矩阵2若向量组是向量空间V的一个基，则V可表示为一些概念：向量空间、基和维数、生成向量空间、子空间向量空间1等价的向量组所生成的向量空间相同。一些结论结论2表明，此时V中向量可用一个统一的式子表出。内容回顾定义称解空间S的基为方程组AX=0的基础解系。结论2若R(A)=r,则解空间S的维数等于n－r。（其中n为方程组中未知变量的个数）结论1齐次线性方程组AX=0的解的全体是一个向量空间。（记为S，称S为解空间。）若设是S的基础解系，则任一解可表示为称（*）式为齐次方程组AX=0的通解。B解：应填.03年考研题以

3、上命题中正确的是练习例(P94例2)求解方程组解对系数矩阵施行初等行变换变为行最简形同解方程组：通解为：例设A,B都是n阶方阵,且AB=0,证明R(A)+R(B)≤n见P94例3证将矩阵B按列分块则由AB=0即B的每一个列向量皆为方程组AX=0的解向量。又若R(A)=r，则解空间S的维数：维(S)=n－r。□非齐次线性方程组设有非齐次方程组向量形式矩阵形式AX=b其中Am×n为系数矩阵(6)结论对非齐次方程组(4)来说,下面四种说法等价：①方程组（4）有解；②向量b能由向量组a1,a2,···,an线性表示；③向量组a1,a2,···,an与向量组a1,a2

4、,···,an,b等价；④矩阵A=(a1,a2,···,an)与B=(a1,a2,···,an,b)的秩相等。通常称A为系数矩阵，称B=(A，b)为增广矩阵。定理1非齐次方程组有解的充分必要条件为：它的系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等。即AX=b有解充要条件为R(A)=R(B)。故知当R(A)

5、非齐次线性方程组在有无穷多解时，通解为①向量组的相关性讨论②向量组的秩和最大无关组的讨论③求向量组的秩和最大无关组、并将其余向量用此最大无关组线性表示。④关于矩阵秩命题的讨论⑤解齐次、非齐次方程组；⑥带有参数的非齐次方程组的解的讨论；⑦一些综合问题。二、典型习题类型1.n阶方阵A可逆的充要条件A可逆三、一些结论2.关于矩阵秩的关系式答应选C).例1若向量组线性无关,线性相关,下面中的结论那一个正确:98年考研题因为线性相关,而线性无关,补充例题答应选D).注意线性无关的向量组不可能由个数比它少的向量组线性表示。例2向量组I:可由向量组II:线性表示，则03年

6、考研题补充例题□例3证设有一组数98年考研题例4补充例题□(1)设非齐次方程组AX=b，R(A)=n-1,其中n是未知数的个数，是方程组的两个不同的解，则方程组的通解为。补充例题(2)若线性方程组有解,则常数应满足条件()。例5(2)若线性方程组有解,则常数应满足条件()。解增广矩阵易见，方程组有解证由于A组、B组皆可由C组线性表示，故有例6(P87第1题)设向量组A：的秩为r1，向量组B：的秩为r2，向量组C：的秩为r3，证明：下证当r1=0，r2=0时，结论显然成立。从而，补充例题于是C组中任一向量可由在r1≠0，r2≠0时，可不妨设：□是A组的最大无关

7、组是B组的最大无关组线性表示，从而例6(P87第1题)设向量组A：的秩为r1，向量组B：的秩为r2，向量组C：的秩为r3，证明：答应选B).例704年考研题评点：请注意A*与A的秩之间的关系(参见P104习题7).02年考研题例8解(A)(B)(D)例902年考研题(C)□注意:A)表示有唯一解,C)表示两两有公共解,D)表示某方程分别与另两方程有公共解.(A)(B)(D)(C)抽象的线性空间与线性变换其基本内容如下第六章总结典　型　例　题一、线性空间的判定二、子空间的判定三、求向量在给定基下的坐标四、由基和过渡矩阵求另一组基五、过渡矩阵的求法六、线性变换的

8、判定七、有关线性变换的证明八、线性变换在给定基下的矩