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1、几个初等函数的麦克劳林公式小结思考题作业泰勒(Taylor)（英）1685-1731近似计算与误差估计其它应用第六节泰勒(Taylor)公式第三章微分中值定理与导数的应用泰勒公式的建立1简单的,多项式函数特点(1)易计算函数值;(2)导数与积分仍为多项式;(3)多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及导数值确定.而其系数用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢一、泰勒公式的建立熟悉的函数来近似代替复杂函数.—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒公式2回想微分一次多项式泰勒公式3（如下图）如以直代曲泰勒公式4需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足1.精确度不高；2.
2、误差不能定量的估计.希望一次多项式用适当的高次多项式泰勒公式误差是的高阶无穷小问题(1)系数怎么定?(2)误差(如何估计)表达式是什么?5猜想2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交1.n次多项式系数的确定泰勒公式6假设泰勒公式7同理可得即泰勒公式8从而泰勒公式9说明:有直到n阶导数时,多项式泰勒公式有相同的函数值及直到n阶导数值.从而称为n阶泰勒多项式.称为泰勒系数.10公式称为n阶泰勒公式.称为n阶余项.注意:泰勒公式11下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式.定理1(带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式)设则带有皮亚诺型余项n阶泰勒公式泰勒公式12证明
3、:对于连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定义即可证明.泰勒公式13下面的定理将指明:可以用它的泰勒多项式逼近函数并估计它的误差.泰勒公式14定理2(带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公式)设则泰勒(Taylor)中值定理泰勒公式15分析即证也即证其中泰勒公式16证令由要求泰勒公式17柯西定理柯西定理用1次用2次泰勒公式18如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式19拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项泰勒公式20注意:Taylor公式为即为Lagrange中值公式.则泰勒公式21泰勒公式特别,若则说明:随n的增大可任意小,因此可选取适当的n,使近似代替达到要求的任意精度
4、.22皮亚诺型余项1858-1932)皮亚诺(Peano,G.(意)当对余项要求不高时,可用皮亚诺型余项带有皮亚诺型余项(4)展开式是唯一的泰勒公式23(5)在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为:n阶泰勒公式麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式泰勒公式24麦克劳林(Maclaurin)公式近似公式误差估计式为带有拉格朗日型余项带有皮亚诺型余项泰勒公式25解代入上公式,得二、几个初等函数的麦克劳林公式例1麦克劳林公式.麦克劳林(Maclaurin)公式于是有的近似表达公式泰勒公式26有误差估计式得到其误差其误差泰勒公式27解例2因为
5、泰勒公式所以28误差为泰勒公式29泰勒公式泰勒多项式逼近30类似地,有泰勒公式31解练习泰勒公式一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.的一阶泰勒公式是其中三阶泰勒公式是32常用函数的麦克劳林公式泰勒公式要熟记!33泰勒公式34泰勒公式35例3解用间接展开的方法较简便.两端同乘x,得带拉格朗日型余项的公式展开问题注一般不能用这种方法.泰勒公式36须解决问题的类型:(1)已知x和误差界,要求确定项数n;(2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;(3)已知项数n和误差界,确定公式中x的三、近似计算与误差估计适用范围.泰勒公式37例4解已知x和误差界,要求确定项数n泰勒公式38满足要求.泰勒
6、公式39四、其它应用常用函数的泰勒展开求例5型未定式泰勒公式解因为分母是4阶无穷小,所以只要将函数展开到4阶无穷小的项就足以定出所给的极限了.40利用泰勒公式可以证明不等式(多个点的函数值的关系).例6证明:提示:泰勒公式凸函数的定义41例7设上的最小值.求证:提示:利用泰勒公式可以证明不等式(有关高阶导与函数值的关系).泰勒公式42例8.设求证:提示:泰勒公式43利用泰勒公式可以证明不等式(有关高阶导与函数值的关系).例9证明:提示:泰勒公式44五、小结多项式局部逼近.了解泰勒(Taylor)公式在近似计算中的应用.泰勒(Taylor)公式的数学思想熟记常用函数的麦克劳林公式;掌握泰勒(
7、Taylor)公式的其他应用.泰勒公式45解故由于有因显然,泰勒公式思考题46作业习题3.6(148页)5.6.(5)泰勒公式补充作业证明:提示:47
