高等数学_泰勒公式.ppt

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1、第三节泰勒公式第三章二、麦克劳林（Maclaurin）公式三、泰勒公式的应用一、泰勒（Taylor）公式一、泰勒(Taylor)公式1.泰勒公式的建立回顾：特点:以直代曲设f(x)在x0处可导，则x的一次多项式不足:1°精确度不高2°难以估计误差需要解决的问题:2°给出误差：的具体估计式.1°观察：有相交相切猜pn(x)与f(x)在x0处相同的导数的阶数越高，它们就有可能越接近？pn(x)的确定:要求:求系数寻求n次近似多项式：要求:带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式阶的导数,有则对2.带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)公式定理3.6Rn(x)的确定：分析要证只需证

2、令(称为余项),只需证证令则有洛必达法则带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式直到n+1阶的导数,有则对定理3.73.带有拉格朗日型余项的n阶泰勒(Taylor)公式其中解例1因此注1泰勒公式的余项估计(1)当n=0时,泰勒公式变为拉格朗日中值定理(2)当n=1时,泰勒公式变为2泰勒公式的特例(3)若在泰勒公式中称为麦克劳林公式二、麦克劳林（Maclaurin）公式由此得近似公式便可得到麦克劳林（Maclaurin）公式：在泰勒公式中取其中几个初等函数的麦克劳林公式：其中类似可得其中其中已知其中类似可得三、泰勒公式的应用1.在函数逼近中的应用误差其中M为在包含0,x的某区

3、间上的上界.常见类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.2.在近似计算中的应用选择解例2计算的近似值,要求精确到小数点后的第5位.因此符合精度要求，利用泰勒公式求极限解例3(方法1)用洛必达法则，需换元.解例4(方法2)用泰勒公式例5证明证4.利用泰勒公式进行证明证例6由麦克劳林公式有证明在开导数，从而两式相减得从而由介值性定理，1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.内容小结2.常用函数的麦克劳林公式3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等(2)利用多

4、项式逼近函数解思考题故备用题例2-1计算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x的适用范围.解近似公式的误差为令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.用近似公式在例2-2计算无理数e的近似值,使误差不超过解中令x=1,得由于欲使的麦克劳林公式由计算可知当n=9时上式成立,因此求解用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,由于例3-1计算解原式例3-2例3-3利用泰勒公式求极限解解例3-4因为所以证例5-1其中a,b是非负数，求证：对一切有二阶导数，两式相减得于是证例5-2使得可得从而得使得即存在一点证例5-3由泰勒公式，得故证例6-1所以

5、在因为所以泰勒简介：泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.麦克劳林简介：麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.