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1、第9讲 空间几何体的三视图、表面积与体积总纲目录考点一 空间几何体的三视图考点二空间几何体的表面积与体积考点三多面体与球的切、接问题考点一 空间几何体的三视图一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.1.图1所示的是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2.若此几何体的俯视图如图2所示,则可
2、以作为其正视图的是( )答案C 由直观图和俯视图知,正视图中点D1的射影是B1,所以正视图是选项C中的图形.A中少了虚线,故不正确.2.(2018课标全国Ⅲ,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案A 本题考查空间几何体的三视图.两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A.故选A.3.(201
3、8北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案C 本题考查空间几何体的三视图和直观图,空间线、面的位置关系.由三视图得四棱锥的直观图如图所示.其中SD⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,SD=AD=CD=2,AB=1.由SD⊥底面ABCD,AD,DC,AB⊂底面ABCD,得SD⊥AD,SD⊥DC,SD⊥AB.∴△SDC,△SDA为直角三角形.又∵AB⊥AD,AB⊥SD,AD,SD⊂平面SAD,AD∩SD=
4、D,∴AB⊥平面SAD.又SA⊂平面SAD,∴AB⊥SA,即△SAB也是直角三角形,从而SB==3.又BC==,SC=2,∴BC2+SC2≠SB2.∴△SBC不是直角三角形.故选C.三视图还原为直观图的原则是“长对正、高平齐、宽相等”,另外,在将三视图还原为直观图时,借助于正方体或长方体能使问题变得具体、直观、简单.▲方法技巧方法归纳由三视图还原直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱的位置.(3)确定几何体的直观
5、图形状.考点二 空间几何体的表面积与体积1.柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧=ch(c为底面周长,h为高);(2)S锥侧=ch'(c为底面周长,h'为斜高);(3)S台侧=(c+c')h'(c',c分别为上、下底面的周长,h'为斜高).2.柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);(2)V锥体=Sh(S为底面面积,h为高);(3)V台=(S++S')h(S,S'分别为上、下底面面积,h为高)(不要求记忆).3.球的表面积和体积公式(1)S球表=4πR2(R为球的半径);(2
6、)V球=πR3(R为球的半径).命题角度一 空间几何体的表面积例1(1)(2017课标全国Ⅰ,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10 B.12 C.14 D.16(2)(2018课标全国Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为.答案
7、(1)B (2)40π解析由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构成,其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,则梯形的面积之和为2×=12.故选B.(2)因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°,所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形.设底面圆的半径为r,则母线长l=r.在△SAB中,cos∠ASB=,所以sin∠ASB=.因为△SAB的面积为5,即SA·SB·sin∠ASB=·r·r×=5,所以r2=40.故圆锥的侧面积为πrl=πr2=40π.▲疑难突
8、破利用底面半径与母线的关系,以及△SAB的面积值求出底面半径是解题的突破口.例2(1)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为( )A.3 B.C.1 D.(2)(2018福建福州质检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )命题角度二 空间几何体的体积A.π+6
