江苏专版2019版高考数学一轮复习第十六章曲线与方程16.2抛物线讲义.docx

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1、§16.2　抛物线五年高考考点　抛物线标准方程及其几何性质1.(2017课标全国Ⅰ理改编,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则

2、AB

3、+

4、DE

5、的最小值为. 答案　162.(2016课标全国Ⅱ改编,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=. 答案　23.(2014辽宁改编,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,

6、过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为. 答案　434.(2014四川改编,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是. 答案　35.(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A-12,14,B32,94,抛物线上的点P(x,y)-12

7、PA

8、·

9、PQ

10、的

11、最大值.解析　(1)设直线AP的斜率为k,k=x2-14x+12=x-12,因为-12

12、PA

13、=1+k2x+12=1+k2(k+1),

14、PQ

15、=1+k2(xQ-x)=-(k-1)(k+1)2k2+1,所以

16、PA

17、·

18、PQ

19、=-(k-1)(k+1)3,令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f'

20、(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间-1,12上单调递增,12,1上单调递减,因此当k=12时,

21、PA

22、·

23、PQ

24、取得最大值2716.解法二:如图,连结BP,

25、AP

26、·

27、PQ

28、=

29、AP

30、·

31、PB

32、·cos∠BPQ=AP·(AB-AP)=AP·AB-AP2.易知P(x,x2)-12

33、AP

34、·

35、PQ

36、=-x4+32

37、x2+x+316-12

38、AP

39、·

40、PQ

41、的最大值为2716.6.(2015课标Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,

42、总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析　(1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).又y'=x2,故y=x24在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0.y=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1

43、,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)教师用书专用(7—9)7.(2013课标全国Ⅱ理改编,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦

44、点为F,点M在C上,

45、MF

46、=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为. 答案　y2=4x或y2=16x8.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有

47、FA

48、=

49、FD

50、.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)△ABE