(江苏专版)2020版高考数学一轮复习讲义： 第十五章 圆锥曲线与方程 15.3 抛物线讲义.pdf

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1、§15.3抛物线考纲解读五年高考统计考点内容解读要求常考题型预测热度201320142015201620171.抛物线定义的应用1.抛物线的定义填空题2.求抛物线的标准方A★☆☆和标准方程解答题程抛物线的几何性质及填空题2.抛物线的性质A★☆☆简单运用解答题分析解读抛物线在近年高考中没有单独考查,是命题冷点.若高考出题考查,试题难度也会比较低,会重点考查对定义的理解及几何性质的简单运用.五年高考考点一抛物线的定义和标准方程1.(2016四川改编,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是.答案(1,0)2.(2015陕西,14,5分)若抛物线y

2、2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案23.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=.答案1+教师用书专用(4)4.(2013广东理,20,14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x,y)为直线l上的定点时,求直线AB

3、的方程;00(3)当点P在直线l上移动时,求

4、AF

5、·

6、BF

7、的最小值.解析(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由题意易知=且c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y'=x.设A(x,y),B(x,y),则切线PA,PB的斜率分别为x,x,112212所以切线PA的方程为y-y=(x-x),即y=x-+y,即xx-2y-2y=0.11111同理可得切线PB的方程为xx-2y-2y=0.22因为切线PA,PB均过点P(x,y),所以xx-2y-2y=0,xx-2y-2

8、y=0,0010012002所以(x,y),(x,y)为方程xx-2y-2y=0的两组解.112200所以直线AB的方程为xx-2y-2y=0.00(3)由抛物线定义可知

9、AF

10、=y+1,

11、BF

12、=y+1,12所以

13、AF

14、·

15、BF

16、=(y+1)(y+1)=yy+(y+y)+1,121212联立方程消去x整理得y2+(2y-)y+=0.0由一元二次方程根与系数的关系可得y+y=-2y,yy=,12012所以

17、AF

18、·

19、BF

20、=yy+(y+y)+1=+-2y+1.12120又点P(x,y)在直线l上,所以x=y+2,0000所以+-2y+1=2

21、+2y+5=2+.00所以当y=-时,

22、AF

23、·

24、BF

25、取得最小值,且最小值为.0考点二抛物线的性质1.(2017课标全国Ⅱ文改编,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为.答案22.(2017课标全国Ⅱ理,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则

26、FN

27、=.答案63.(2016浙江理,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案94

28、.(2014课标Ⅱ改编,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.答案5.(2013江西理,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.答案66.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2

29、)求证:A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x,y),N(x,y).1122由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x+x=,xx=.1212因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x,x).直线ON的方程为y=x,点B的坐标11为.因为y+-2x=11====0,所以y+

30、=2x.11故A为线段BM的中点.7.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M