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《2019版高考数学一轮复习第十六章曲线与方程16.2抛物线讲义.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§16.2 抛物线五年高考考点 抛物线标准方程及其几何性质1.(2017课标全国Ⅰ理改编,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则
2、AB
3、+
4、DE
5、的最小值为 . 答案 162.(2016课标全国Ⅱ改编,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k= . 答案 23.(2014辽宁改编,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线
6、上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为 . 答案 4.(2014四川改编,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 . 答案 35.(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求
7、PA
8、·
9、PQ
10、的最大值.解析 (1)设直线AP的斜率为
11、k,k==x-,因为-12、PA
13、==(k+1),
14、PQ
15、=(xQ-x)=-,所以
16、PA
17、·
18、PQ
19、=-(k-1)(k+1)3,令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,
20、PA
21、·
22、PQ
23、取得最大值.解法二:如图,连结BP,
24、AP
25、·
26、PQ
27、=
28、AP
29、·
30、PB
31、·cos∠BPQ=·(-)=·-.易知P
32、(x,x2),则·=2x+1+2x2-=2x2+2x+,=+=x2+x++x4-x2+=x4+x2+x+.∴
33、AP
34、·
35、PQ
36、=-x4+x2+x+.设f(x)=-x4+x2+x+,则f'(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,∴f(x)在上为增函数,在上为减函数,∴f(x)max=f(1)=.故
37、AP
38、·
39、PQ
40、的最大值为.6.(2015课标Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(
41、2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析 (1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,
42、y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=+==.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)教师用书专用(7—9)7.(2013课标全国Ⅱ理改编,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,
43、MF
44、=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 . 答案 y2=
45、4x或y2=16x8.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有
46、FA
47、=
48、FD
49、.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.解析 (1)由题意知F.设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.因为
50、
51、FA
52、=
53、FD
54、,由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)(i)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),因为
55、FA
56、=
57、FD
58、,则
59、xD-1
60、=x0+1,由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率kAB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b
