求解积分因子的方法整理.doc

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1、求解积分因子的方法整理一、恰当微分方程与积分因子1、对于一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0（1）其左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分，即P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)则称方程（1）为恰当微分方程。容易得到方程（1）的通解为u(x,y)=c(这里的c为任意常数)。可是若（1）不是恰当微分方程，如果存在连续可微的函数u=u(x,y)≠0,使得u(x,y)M(x,y)dx+u(x,y)N(x,y)dy=0为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程（1）的积分因子。2、恰当微分方程的判定对于一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0它

2、为恰当微分方程的必要条件为：二、几种常见的积分因子的类型及求法1、存在只与x有关的积分因子（1）充要条件：（2）形式：u=2、存在只与y有关的积分因子（1）充要条件：（2）形式：这里的分别是只关于x、y的函数。3、方程（1）有形如u(x,y)=F(x,y)的积分因子，充要条件：4、方程（1）有形如u[p(x)+f(x)g(y)+q(y)]的积分因子，充要条件：它的积分因子为：5、方程（1）有形如u[f(x)g(y)+q(y)]的积分因子，充要条件：它的积分因子为：6、方程（1）有形如的积分因子，充要条件：其中7、方程（1）有形如的积分因子，充要条件：它的积分因子为：8、方程

3、有形如的积分因子，充要条件：它的积分因子为：其中这里的结束语：对于一阶微分方程，不同的形式有不同的积分因子，积分银子一般不会太容易求得，很多时候需要根据方程的特点进行判断，以上的一些情况是参考了一些文献后，整理而得到的一些特殊情况，对求解一些特殊方程有很大的帮助。参考文献：1、张新丽、王建新.一类积分因子存在的充要条件.科学与技术工程.第11卷.第16期.2011.62、陈星海等.三类复合型积分因子的充要条件及其应用.湖南师范学院学报.第32卷.第2期.2010.43、高正晖.一阶微分方程三类积分因子的计算.衡阳师范学院学报.2002