数学毕业论文 浅谈积分因子的求解法讲述

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1、新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）2014届本科毕业论文（设计）题目：浅谈求积分因子的方法学院：数学科学学院专业班级：数学09-3班学生姓名：阿曼姑丽·吐鲁甫指导教师：伊里夏提答辩日期：2014年5月8日新疆师范大学教务处10新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）目录1.引言31.1恰当微分方程的定义31.2恰当微分方程的充要条件3⒉积分因子42.1积分因子的定义42.2积分因子存在的充要条件43.几种形式的积分因子53.1具有形式的积分因子53.2具有形式的积分因子53.3具有形式的积分因子63.4具有形式的积分因子74.总结8参考文献9

2、致谢1010新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）浅谈求积分因子的方法摘要：在本文中主要讨论了积分因子及其求积分因子的方法。对于恰当微分方程我们可以通过积分求出它的通解，但是大家都知道所有的微分形式的一阶方程并不是恰当微分方程，因此在这里我首先给出恰当微分方程的定义和充要条件来引进了积分因子的定义和充要条件，其次还有讨论几种形式的积分因子的求解法，最后通过给出几个应用例子来进一步讨论了求积分因子的方法和技巧。关键词：恰当微分方程；积分因子；一阶微分方程10新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）1.引言微分方程是现代数学的一个重要分支，不仅是人们

3、解决各种实际问题的有效工具，也是表达自然规律的一种自然的数学语言.对于恰当微分方程我们可以通过积分求出它的通解，但是大家都知道所有的微分形式的一阶方程并不是恰当微分方程，因此能否将一个非恰当方程化为恰当微分方程就有很大的意义.积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念.1.1恰当微分方程的定义如果微分方程形式的一阶方程的左端恰好是一个二元函数的全微分，即则称恰当微分方程，而函数称为微分式的原函数.如果是全微分方程，则它的通积分为.设是的任一解，则有，从而,即满足.反之，对于满足的任一函数，则它一定满足，即是的解.1.2恰当微分方程的充要条件如果方程中的和

4、在矩形区域上连续可微，则方程是恰当微分方程的充要条件是在R上有.10新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）⒉积分因子2.1积分因子的定义如果方程不是恰当微分方程，若存在连续可微的函数，使得方程是恰当微分方程，其中在矩形区域上连续函数，且有连续的一阶偏导数，则称是方程的积分因子.2.2积分因子存在的充要条件函数是方程的一个积分因子的充要条件是例如：方程可以有不同的积分因子，，，.可见只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.因此，在具体解题过程中由于求出的积分因子不同而通解可能具有不同的形式.10新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）

5、3.几种形式的积分因子3.1具有形式的积分因子方程有形式为的积分因子的充要条件是，这里的仅为的函数你，于是积分因子为.证明必要性.若方程存在只与有关的积分因子，则有，这时方程成为因为左端只与有关，所以它的右端也只与有关.充分性:如果只与有关，其是方程的解，即此时满足方程，从而是方程的一个积分因子.3.2具有形式的积分因子方程有形式的积分因子的充要条件为，这里仅为的函数，于是积分因子为证明与3.1相似.10新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）例子1：求的积分因子.解因为，，且，，则于是积分因子为.3.3具有形式的积分因子方程有形式如的积分因子的充要

6、条件是，且积分因子是.证明令，则，.假设是方程的积分因子，则有10新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）从而得方程的有形如的积分因子的充要条件是，即积分因子是.3.4具有形式的积分因子方程有形如的积分因子的充要条件是，且积分因子是.证明令，则有，.假设是方程的积分因子，则有，所以，10新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）当且仅当时可以解出.故方程有形如的积分因子的充要条件是，且积分因子是例子2：求的积分因子？解因为，，，，，，于是积分因子为.4.总结本章对积分因子的求解方法进行了推广，总结出几类特定方程积分因子的固定求法，以便加深对微分方程积

7、分因子的认识和了解，熟悉一阶微分方程求解方法。综上所述，该文介绍积分因子和充要条件，及其一些几种类型的积分因子的求法，只要掌握这几种方法，就能很容易的解出一些方程的积分因子，将大大提高解微分方程的效率和可操作性．10新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）参考文献：[1]华东师范大学微分方程教研室．常微分方程北京：高等教育出版社第二版，2005年[2]郭玉璻，编著．常微分方程：理论，建模与发展北京：清华大学出版社第一版，2010年[3]周义仓，秦军林.常微分方程及其应用北京：科学出版社第二版，2010年[4]王高雄，周之路，朱思铭，王寿松.常微分方程

8、北京：高等教育出版社第二版，1983年[5]包雪松，徐洪义．常微分方程南京大学出版社，第一版1