常见不定积分的求解方法

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1、常见不定积分的求解方法的讨论马征指导老师：封新学摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。ThediscussionofcommonindefiniteintegralmethodofcalculatingMaZhengAbstracttherearefoursolutionsofindefinite

2、integrationinthisdiscourse:directintegration;exchangeableintegration;parcelintegration.Itdiscussedthefeasibilitywhichthesewaysinthesolutionofintegration,anditishelpfultosolveindefiniteintegrationquickly.KeywordsIndefiniteintegration,exchangeableintegration,pa

3、rcelintegration.170引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如（其中）；；；等。这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微

4、积分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。1不定积分的概念定义：在某区间I上的函数，若存在原函数，则称为可积函数，并将的全体原函数记为,称它是函数在区间I内的不定积分，其中为积分符号，称为被积函数，称为积分变量。若为的原函数，则：=+C(C为积分常数)。17在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：()和是不相等的，前者的结果是一个函数

5、，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。性质：1.微分运算与积分运算时互逆的。注：积分和微分连在一起运算时：——————>完全抵消。——————>抵消后差一常数。2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：=±。3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：=(≠0)。在这里，给出两个重要定理：(1)导数为0的函数是常函数。(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们

6、开始讨论不定积分的各种求解方法。1直接积分法(公式法)17从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)。下面先给出基本求导公式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)。根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)。17下面举例子加以说明：例2.1：求解原式====注意：这里三个积分常数都是任意的

7、，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。例2.2：求解原式===注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体讲解。直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。1第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原

8、函数，但只是这样远不能解决问题，如17就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。如果不定积分用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为，作变量代换，并注意到，则可将关于变量的积分转化为关于的积分，于是有如果可以求出，不定积分的计算问题就解决了，这就是第一类换元法(凑微分法)。注：上述公式中，第一个等号表示换元，最后一个等号表示回代.下面具体举例题加