不定积分求解方法与技巧

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1、不定积分求解方法及技巧小汇总摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。一．不定积分的概念与性质定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的xI，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（xI）简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是

2、任意函数；（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x)g(x)]dx=f(x)dxg(x)dx.性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则kf(x)dx=kf(x)dx.二．换元积分法的定理如果不定积分g(x)dx不容易直接

3、求出，但被积函数可分解为g(x)=f[(x)]’(x).做变量代换u=(x),并注意到‘（x）dx=d(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有g(x)dx=f[(x)]’(x)dx=f(u)du.如果f(u)du可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式f[(x)]’(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C.第一类换元法是通过变量代换u=(x),将积分f[(x)’(x)dx化为f(u)du.

4、但有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换，将积分f(x)dx化为f[(t)]’(t).在求出后一积分之后，再以x=(t)的反函数t=(X)带回去，这就是第二类换元法。即f(x)dx={f[(t)]’(t)dt}.为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=（x）存在的条件，给出下面的定理。定理2设x=(t)是单调，可导的函数，并且‘（t）0.又设f[(t)]’(t)具有原函数F（t）,则f(x)dx=f[(t)]’(t)dt=F(t)+C=F[(x)]+C其中（x）是x=（t）的反函数。一．常用积分公式1基本积分公式（1）kdx=kx+C(k是常数)

5、；（2）xdx=+C(u-1);（3）=ln+C；（4）=arctanx+C;(5)=arcsinx+C;(6)cosxdx=sinx+C;(7)sinxdx=-cosx+C;(8)=secxdx=tanx+C;(9)=cscxdx=-cotx+C;(10)secxtanxdx=secx+C;(11)cscxcotxdx=-cscx+C;(12)edx=e+C;(13)adx=e+C;(14)shxdx=chx+C;(15)chxdx=shx+C.(16)tanxdx=-ln+C;(17)cotxdx=ln+C;(18)secxdx=ln+C;(19)cscxdx=ln

6、+C;(20)=+C;(21)=arcsin+C;(22)=ln(x++C;(23)=ln+C.2.凑微分基本类型一．解不定积分的基本方法四．求不定积分的方法及技巧小汇总~1.利用基本公式。（这就不多说了~）2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则其中可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：【解】例2：【解】1.第二类换元法：设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式第二类

7、换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：2.分部积分法.公式：分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：【解】观察被积函数，选取变换,则例4：【解】上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在中，的选取有下面简单的规律：将以上规律化成一个图就是：（a^xarcsinx）（lnxPm(x)sinx)ν