正余弦定理推导过程.doc

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1、先利用单位圆（向量）推到两角和与差的余弦公式，再利用诱导公式推导正弦公式，最后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式。如：sin(a+b)=cos[(pi/2-a)-b]=cos(pi/2-a)cosb+sin(pi/2-a)sinb=sinacosb+cosasinb取直角坐标系，作单位圆取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A取一点B，连接OB，与X轴的夹角为BOA与OB的夹角即为A-BA（cosA,sinA),B(cosB,sinB)OA=(cosA,sinA)...在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角α，β，-β，使角α的始边为Ox交⊙O于P1，终边交⊙O于P2；角

2、β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.依三角函数的定义，得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cosα,sinα）、P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3，P2P4. 则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式，得∣P1P3

3、2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2,∣P2P4

4、2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β

5、)-sinα〕2展开整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α，β均成立在公式Cα+β中，用-β替代β.cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α，β均成立.