函数极限通论ppt课件.ppt

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1、基本内容§1数值函数极限的统一形式§2函数沿基极限的性质§3函数沿基极限存在的条件1§1.数值函数极限的统一形式一元函数极限的基本形式集合基函数沿基收敛函数沿基的无穷极限2一元函数极限的基本形式微积分研究的基本对象是.基本工具是极限.而一元数值函数(m=n=1)是其中的最简单和最基本情形.在微积分中,A一般是区间.一元函数的极限分成下面的六类:在一点的极限、在一点的左极限、在一点的右极限、在处的极限、在+处的极限、在-处的极限.x0相对于A的空心邻域={xA

2、0<

3、x-x

4、

5、合.A的子集族B叫作A的一个(集合)基,如果B满足如下两条性质:B包含无限多个A的非空子集,的元素叫作终端；b1,b2B,b3B,b3b1b2.集合基的例子:1.A=N,B={b={nN

6、n>k}

7、kN};2.A=I,x0I,B={b={xA

8、0<

9、x-x0

10、

11、d>0};3.A=I,x0I,B={b={xA

12、0

13、d>0};4.A=R,B={b=(c,+)

14、c>0}.4函数沿基收敛设:AR,B是A的一个基,lR.沿B收敛到极限l,如果e>0,bB,xb,

15、

16、(x)-l

17、0,bB,xb,(x)>c.记做(x)+(沿基B)或类似地可以给出极限为,或-的定义.在下面的讨论中,如果没有特殊申明,

18、一般讨论所说的极限都是有限极限.6习题八(I)1.写出下列极限的定义和相应的基:2.验证下列极限7习题八(II)3.证明:数列基,双侧基,左侧基,右侧基,+侧基,-侧基和基都具有如下性质:存在可数多个终端{bn}满足(1)若m0,使得xD,

19、(x)

20、c,就说在D

21、上有界.类似地可以定义有上界和有下界.函数的终极有界性:设:AR,B是A的一个基.如果存在bB,使得xb,

22、(x)

23、c,就说关于基B终极有界.类似地可以定义终极有上界和终极有下界.无穷小量:若a(x)0(沿基B),就称a是沿基B的无穷小函数或无穷小量.10极限基本性质(I)1.惟一性:若函数沿基B的极限存在,则极限是惟一的.2.极限的终极惟一性:设存在bB,使得xb,(x)=g(x).如果(x)l(沿基B),则g(x)l(沿基B).3.终极有界性:若(x)l(沿基B),则关于基B

24、终极有界.11极限基本性质(II)4.非零极限的终极保号性:设(x)l(沿基B).若l>0,则存在bB,使得xb,(x)>l/2.若l<0,则存在bB,使得xb,(x)

25、b(x)

26、

27、a(x)(x)

28、,则b是沿基B的无穷小量.6.极限的算术性质:若(x)l1(沿基B),g(x)l2(沿基B),则(x)+g(x)l1+l2(沿基B),(x)g(x)l1l2(沿基B),(x)/g(x)l

29、1/l2(沿基B)(若l20).12极限基本性质(III)7.保序性1:设(x)l(沿基B).若bB,xb,(x)c,则lc.类似地,若bB,xb,(x)c,则Lc.8.保序性2:设(x)l1,g(x)l2(沿基B).若bB,xb,(x)g(x),则l1l2.9.夹逼性质2:设(x)l,h(x)l(沿基B).若bB,xb,(x)g(x)h(x),则g(x)l(沿基B).13习题九(I)1.设和g是定义在区间(a,b)上的函数.给出中相应的基

30、B和相应的极限定义.证明:如果g(x)l>0(沿基B),则(x)g(x)+(沿基B).2.计算下列极限:14习题九(II)3.计算下列极限:4.设:(0,+)R且对于任何a>0,在(0,a)上有界.证明:如果,则15§3函数沿基极限存在的条件函数沿基存在极限的Cauchy准则Heine收敛性和常见基Cauchy收敛性和Hein