变化率和导数.docx

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1、变化率与导数1.瞬时变化率：设函数yf(x)在x附近有定义，当自变量在xx附近改变量为x时，函数值相应地00改变yf(xx)f(x)，如果当x趋近于0时，平均变化率0yf(x0x)f(x0)趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝xx对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数f(x)在点x的瞬时变化率。02.导数：f(xx)f(x)00当x趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当x0xf(xx)f(x)f(xx)f(x)0000时，c或

2、记作limc，符号“”读作“趋xx0x近于”。函数在x的瞬时变化率，通常称作f(x)在xx处的导数，并记作f(x)。3.000导函数：如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a,b)可导。这样，对开区间(a,b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)。于是，在区间(a,b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数。记为f(x)或y（或y）。x4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)g(

3、x))f(x)g(x)即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，g(x)0，则5.复合函数的导数:设函数u(x)在点x处有导数u(x),函数yf(u)在点x的对应点u处有导数xyf(u),则复合函数yf[(x)]在

4、点x处有导数,且yyu.6.几种常见函数的uxuxnn1导数：(1)C0(C为常数)(2)（x）nx(nQ)(3)(sinx)cosx11(4)(cosx)sinx(5)(lnx)(6)(logx)logeaaxxxxxx(7)(e)e(8)(a)alna二、疑难知识导析1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则yyu,应xux注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪

5、个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如(cos2x)sin2x实际上应是2sin2x。(3)求复合函数的导数，关11键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如y选成y，4(13x)u4uv,v1w,w3x计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4.f(x)与f(x)的关系f(x)表示f(x)在xx处的导数，即f(x

6、)是函数在某一点0000的导数；f(x)表示函数f(x)在某给定区间(a,b)内的导函数，此时f(x)是在(a,b)上x的函数，即f(x)是在(a,b)内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数yf(x)在x处0可导，则此函数在点x处连续，但逆命题不成立，即函数yf(x)在点x处连续，未必在00x点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。06.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数yf(x)在xx处的导数，表示曲线在0点P(x,f(x))处切线的斜率，因此，曲线yf(x)在点P(x,f(x))

7、处的切线方程0000可如下求得：（1）求出函数yf(x)在点xx处的导数，即曲线yf(x)在点0P(x,f(x))处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方00程为：yyf(x)(xx)，如果曲线yf(x)在点P(x,f(x))的切线平行于y00000轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为xx.三、经典例题导讲[例021]已知y(1cos2x),则y.错因：复合函数求导数计算不熟练,其2x与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解2为:y2sin2x(

8、1cos2x).正解：设yu,u1cos2x,则yyu2u(1cos2x)2u(sin2x)(2x)xux2u(sin2x)24sin2x(1cos2x)y4sin2x(1cos