最优定价实例---电视机定价.docx

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1、同济版《高等数学》（第六版.下册）P117例9在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格是相互影响的。厂家要选择合理的销售价格，才能获得最大利润。这个价格称为最优价格。下面的例题就是讨论怎样确定电视机的最优价格。【例题】设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为p，销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量x与销售价格p之间有下面的关系：x=Me-ap，(M>0,a>0)(1)其中M为市场最大需求量，a是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：c=c0-klnx，(k>0,

2、x>1)(2)其中c0是只生产一台电视机的成本，k是规模系数。根据上述条件，应如何确定电视机的售价p，才能使该厂获得最大利润？【建模】设厂家获得的利润为u，每台电视售价为p，每台生产成本为c，销售量为x，则u=(p-c)x(3)于是问题化为条件极值问题：maxpu=p-cxs.t.x=Me-apc=c0-klnx(3)【解答1】将c、x的表达式带入u，用“无条件极值”方法求解maxpu(p)=p-cxpx(p)由dudp=0可直接解出。up=p-c0-k(lnM+ap)Me-ap令dudp=1-kaMe-ap+(p-c0+k(lnM-ap))Me-ap(-a)=0化简得p-c0+klnM-

3、ap-1a-k=0由此得p*=c0-klnM+1a-k1-ak因为由问题本身可知最优价格必定存在，所以这个p*就是电视机的最优价格。只要确定了规模系数k，价格系数a，电视机的最优价格问题就解决了。【解答2】作拉格朗日函数L(x,p,c)=(p-c)x+λ(x-Me-ap)+μ(c-c0+klnx)令Lx=p-c+λ+kμx=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0。将上述关于变量1，λ，μ的线性方程组用矩阵表示。p-c1kxxaMe-ap0-x011λμ=000由于上式有非零解(1,λ,μ)T，故系数矩阵的行列式等于零。p-c1kxxaMe-ap0-x01=0解之得p-ca=1

4、-ka将c与x的表达式带入上式，化简得p-c0+klnM-ap-1a-k=0由此得p*=c0-klnM+1a-k1-ak因为由问题本身可知最优价格必定存在，所以这个p*就是电视机的最优价格。只要确定了规模系数k，价格系数a，电视机的最优价格问题就解决了。同济版《高等数学》（第六版.下册）P131E19【练习】某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2，销售量分别为q1和q2，需求函数分别为q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)试问：厂家如何确定两个市场的定价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？【建模】设厂家获得的

5、总利润为u，则u=p1q1+p2q2-C(3)于是问题化为条件极值问题：maxp1,p2u=p1q1+p2q2-Cs.t.q1=24-0.2p1q2=10-0.05p2C=35+40(q1+q2)(3)【解答1】将q1、q2、C的表达式带入u，用“无条件极值”方法求解maxp1,p2u(p,p)=p1q1(p1)+p2q2(p2)-C(q1(p1),q2(p2))。令∂u∂p1=0∂u∂p2=0并求解。【解答2】作拉格朗日函数Lp1,p2,q1,q2,C=p1q1+p2q2-C+λq1-24+0.2p1+μq2-10+0.05p2+θ(C-35-40(q1+q2))令Lp1=0Lp2=0L

6、q1=0Lq2=0LC=0并求解。