最优控制笔记.doc

《最优控制笔记.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、最优控制又叫动态优化工程技术领域里的过程（物理过程或化学过程），通常都是可以控制的过程控制：使过程的发展变化按人们的需要进行动态优化问题的四个要素：1.建立过程的动态模型（动态系统的状态方程）2.指定所需的初始状态和结束状态（状态方程的边界条件）3.确立在可行控制策略4.性能指标动态系统的变化，可以看成对应状态的变化，其中每一个状态对应着n维状态空间中的一个点，系统的运动将在状态空间中画出一条状态曲线动态系统的状态方程：1.是对研究对象的动态数学建模2.体现了系统运动时应遵循的规律,反映了系统的动态特征3.一般是微分方程组描述状态方程f[x(t),u(t),t]的数学性

2、质：1.f[x(t),u(t),t]是向量函数，维数与状态变量维数相同2.f[x(t),u(t),t]是关于x(t)/u(t)/t的连续函数3.f[x(t),u(t),t]是关于x(t)/t的连续可微函数4.u(t)是关于t的分段连续函数，只有有限个第一类间断点系统的初始时刻t0和初始状态x0一般都是已知的系统的结束时刻tf：固定或者不固定系统的结束状态xf：全部固定/全部不固定/部分固定性能指标：1.要根据实际任务确定，例如过程持续的时间最少/过程消耗的能量最少/成本最小/利益最大等等2.种类：终值型/积分型/复合型,它们都是关于x(t)/t的连续可微函数最优控制一定

3、是容许控制，即最优控制策略（最优控制函数）在控制函数空间中的一个子集中选择当最优控制轨迹确定后，通过系统的状态方程，可以确立对应的最优状态轨迹现代控制理论相对于经典控制理论的优点：1.从时不变系统延伸到时变系统2.从单输入单输出系统延伸到多输入多输出系统3.从频域回到时域，采用能够揭示系统内部各状态变化规律的状态空间描述法最优控制理论属于现代控制理论的分支从数学角度来看，最优控制问题本质上是求泛函极值的变分学问题变分法分为古典变分法和现代变分法（最大值原理/动态规划）古典变分法只能解决容许控制集为开集的最优控制问题实际最优控制问题的容许控制集都是闭集，可以用现代变分法解

4、决函数分为两类：普通函数和泛函普通函数随自变量t变化有确定值对应泛函随普通函数（称为泛函的宗量函数）的形式变化有确定值对应，t已确定或不产生影响复合函数也是普通函数，随自变量t变化有确定值对应具有某些相同特征的所有函数组成一个函数类，或称函数空间在函数空间内，每一个函数（形式不同的）成为函数空间的一个点，例如sin(x)和sin(2x)是正弦函数空间的两个点泛函宗量的变分：1.同一函数空间中的两个函数的差（t已确定或不产生影响）2.宗量的变分仍然是一个普通函数3.这里“变分”的意思是改变量宗量的维数为m时，则宗量的变分在m维函数空间中进行，其中每一维函数空间各自是具有某

5、些相同特征的函数类两个普通函数k阶相近的定义，从几何上来看就是曲线的相似程度两个普通函数间的k阶距离定义，从几何上来看就是曲线的差异程度m维函数空间中，与点[x0(t),x1(t),...xm(t)]距离相同的点构成m维空间中的一个球面泛函k阶连续的定义（利用两个普通函数间的k阶距离来定义）线性泛函的定义：满足齐次性与可加性泛函的变分：1.是泛函增量的关于宗量变分的线性主部2.是关于宗量变分的线性连续泛函3.仍然是一个泛函4.泛函的变分是唯一的5.这里变分的意思相当于普通函数的微分泛函变分的计算公式，是关于宗量变分的泛函，也是关于alpha的普通函数，从普通函数极值条件

6、出发推导得到泛函极值条件求普通函数的极值，必要条件是：极值在稳定点获得，稳定点即普通函数导数为0的点求泛函的极值，必要条件是：极值在泛函变分为0的点取得Lagrange/Mayer/Bolza形式指标的相互转换欧拉--拉格朗日方程的推导过程欧拉--拉格朗日方程是一个二阶微分方程欧拉--拉格朗日方程成立的前提：1.宗量函数对自变量的二阶导数存在2.积分函数二阶连续可微欧拉--拉格朗日方程的能积分出最优解的特殊情况含有多个宗量函数的欧拉--拉格朗日方程组形式等式约束条件下的泛函极值问题采用拉格朗日乘子思想等式约束下的多变量普通函数极值问题，拉格朗日乘子是m维常向量等式约束下

7、的泛函极值问题，拉格朗日乘子是m维普通函数，称为协态变量拉格朗日乘子法的步骤：原问题-->辅助泛函-->解等式约束+欧拉方程-->用边界条件确定未知系数-->判断极大/极小/鞍点等式约束下的泛函极值问题中，拉格朗日乘子（本质上是普通函数）的欧拉方程就是原问题的等式约束条件对于最优控制问题，控制函数u(t)和状态函数x(t)都看成是泛函的宗量，系统的动态方程作为等式约束条件Hamilton函数是泛函，其t的范围由x(t)/u(t)中的t范围确定，可以看成是mayer型泛函Hamilton函数的作用：积分型泛函J对u(t)的等式约束条件极值问