最优控制理论讲义.doc

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1、第一章绪论§1.1最优控制问题静态最优化问题：输入—输出—代数方程动态最优化问题：输入—输出—微分方程确定性最优控制：系统参数确定，无随机输入随机性最优控制：系统参数确定，有随机输入被控对象CU(t)X(t)Y(t)被控对象CU(t)X(t)Y(t)W(t)V(t)例：飞船的月球软着陆问题mghxf推力运动方程初始条件约束条件为求§1.2最优控制的数学模型一控制系统的数学模型(集中参数系统)直接法建立：动力学、运动学的基本定律，即解析法.间接法建立：通过“辩识”的途径确定系统的结构与参数.其中,,为n维状态向量,为r维控

2、制向量,为n维函数向量.二目标集通过使由到，其中为初始状态，并且通常为已知；为终端状态，即控制所要求达到的目标。一般来说对终端状态的要求可用如下的约束条件表示：.三容许控制具有不同的物理属性，一般有，即在控制域内.凡在闭区间上有定义，且控制域内取值的每一个控制函数均称为容许控制。四性能指标主要取决于问题所要解决的主要矛盾。表达式为：其中是动态系统起始于，对应于的状态轨线。是此轨线在终端时刻的值。五最优控制的提法受控系统的状态方程及给定的初态规定的目标集为求一容许控制，使指标函数为最小。如果问题有解，记为，则称为最优控制。

3、相应的曲线叫做最优轨线。而性能指标则称为最优性能指标。§1.3最优控制在实际问题应用的几个方程一时间最优控制二线性调节的问题使线性系统的状态保持在平衡位置状态的误差最小，控制能量也最小。该问题为线性二次型问题。三跟踪问题系统的状态跟踪某一个确定的状态四最少燃料问题五终端控制问题1.4最优控制的发展第二章变分法及其在最优控制的应用§2.1变分法的基本概念一泛函对于某一类函数集合中的每一个函数，均有一个确定的数与之对应，那么就称为依赖于函数的泛函，记作，或简称其中称为泛函的宗量(自变量)。二容许函数类(空间)满足一定条件的一

4、类函数称为泛函的容许函数类(空间)。例：所有在区间上连续函数的全体是一函数空间，记。所有在区间上连续且一次可微函数的全体是一函数空间，记所有在区间上连续且二次可微函数的全体是一函数空间，记三泛函的极值最简单的一类函数对任何一条与接近的曲线上，有则称在曲线上上达到极小值。1．接近定义两个函数具有零阶接近度：两个函数具有一阶接近度：，当为函数空间的一个点时，接近度可用点距来表示：零阶距离一阶距离k阶距离1．泛函的强相对极小对于容许函数的强领域总有，则称泛函在函数上达到强相对极小。2．泛函的弱相对极小对于容许函数的弱领域总有，

5、则称泛函在函数上达到弱相对极小。显然，强相对极小必为弱相对极小，反之不成立。4．泛函的变分泛函的连续性：对于任何一个正数，可以找到这样一个当时，就有那么，则称泛函在点处是连续的。当时，称为阶连续。5．线性泛函连续泛函如果满足以下两个条件：其中是任意常数，则称为线性泛函。6．泛函的变分若连续泛函的增量可以表示为其中是的线性连续泛函，是关于的高阶无穷小，那么叫做泛函的变分，记为也称为泛函的微分。引理2.1泛函的变化定理2.1若可微泛函在上达到极小(大)值，则在上有例求泛函的变分。在上例中应用了宗量变分的导数等于导数变分的性质

6、，即。§2.2欧拉方程变分法上研究泛函极值的一种方法，为古典变分法。拉格朗日问题：求一容许函数，使泛函取最小值。下面利用泛函达到极值的必要条件：，导出欧拉方程。引理：设连续函数对于任一具有下述性质的函数(1)在上，连续(2)总有则对于。定理：若最简单的泛函；在曲线处达到极值，则必为欧拉方程的解。证明因为泛函在处达到极值，所以有其中而代入得由引理可得还可写成欧拉方程是二阶常微分方程。两个积分常数由两个边界条件确定。例求泛函满足边界条件的极值曲线。解，欧拉方程为求得，由边界条件可得。故得极值曲线为。含有多个未知函数的变分问题

7、其中有相似结论边界条件为。§2.3条件极值的变分问题问题：求泛函在约束条件求满足边界条件的极值。求解步骤：Step1:作系统其中向量算子Step2：解欧拉方程其中将欧拉方程与约束方程联合求解，可得和，积分常数由边界条件确定。§2.4在一点处的变分积分中值定理：连续，在上不变号且可积，则有满足下面建立泛涵在一点处的变分概念如下：设与都属于，且其中这样选取：（1）（2）：非零值在的零域之内0在的零域之外且保持定号。并设二曲线与之间的小块面积设计的泛函增量由二元函数泰勒中值定理可得：=令小块向点这样地收缩（1）收缩到，即（2）

8、曲线与的一阶距离或，其中随趋于零。称为泛函在点上的变分，称为点导数。多变量情况：为泛函在点上的变分，其中，是的广义坐标。§2.5哈米顿原理本节利用泛函的变分，推导力学中的一个基本变分原理-哈米顿原理。考虑由n个质点组成的力学系：n个质点的质量分别为，以表示第个质点的坐标。以表示这个系统的动能，则以表示系统的势能，则在