最优控制理论综述报告

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1、最优控制理论综述报告摘要：本文主要阐述了关于最优控制问题的基本概念。最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划，同时本文也介绍了最优控制理论在几个研究领域中的应用，并对最优控制理论做了一定的总结。关键词：最优控制；最优化；最优控制理论1、最优控制问题基本介绍最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的

2、运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优[1]。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。图1最优控制问题的示意图1.1最优控制问题的性能指标在状态空间中要使系统的状态由初始状态x(t0)→x(tf)

3、,可以用不同的控制规律来实现。为了衡量控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需要用一个性能指标来判断。性能指标的内容、形式取决于最优控制所完成的任务。不同最优控制问题就应有不同的性能指标。同一最优控制问题，其性能指标也可能因设计者着眼点而异。①综合性或波尔扎（Bolza）型性能指标——标量函数：动态性能指标——标量函数：终端性能指标——标量函数，对每一个控制函数都有一个对应值，——控制函数整体②积分变量或拉格朗日（Lagrange）型性能指标强调系统的过程要求。③终端型或麦耶尔（Mager）型

4、性能指标以上三种性能指标，通过一些简单的数学处理，可以相互转化。在特殊情况下，可采用如下的二次型性能指标F—终端加权矩阵Q(t)—状态加权矩阵R(t)—控制加权矩阵1.2最优控制问题的提法所谓最优控制的提法，就是将通常的最优控制问题抽象成一个数学问题，并用数学语言严格的表示出来。给定系统的状态方程给定初始条件和终端条件初始状态为：x(t0)=x0终端状态x(tf)可用如下约束条件表示N1[x(tf)，tf]=0或N2[x(tf)，tf]≤0给定性能指标（目标函数）确定最优控制向量，使系统从x(t0)

5、→x(tf)，并使性能指标具有极大（小）值。1.3最优控制问题的分类①按状态方程分类：连续最优化系统、离散最优化系统②按控制作用实现方法分类：开环最优控制系统、闭环最优控制系统③按性能指标分类：最小时间控制问题　　　最少燃料控制问题　　　最少燃料控制问题　　　线性二次型性能指标最优控制问题　　　非线性性能指标最优控制问题④按终端条件分类：固定终端最优控制问题自由终端（可变）最优控制问题终端时间固定最优控制问题终端时间可变最优控制问题⑤按应用领域来分：终端控制问题、调节器问题跟踪问题、伺服机构问题效果

6、研究问题、最小时间问题最少燃料问题1.4最优控制问题的解决方法变分法变分法是求解泛函极值的一种经典方法，可以确定容许控制为开集的最优控制函数，也是研究最优控制问题的一种重要工具。掌握变分法的基本原理，还有助于理解以最小值原理和动态规划等最优控制理论的思想和内容。但是，变分法作为一种古典的求解最优控制的方法，只有当控制向量u（t）不受任何约束，其容许控制集合充满整个m维控制空间，用古典变分法来处理等式约束条件下的最优控制问题才是行之有效的。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，

7、如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。极小值原理极小值原理是由庞德亚金提出来的，它对于解决受约束的最优控制问题是很有效的。当u（t）不受约束时，可以用变分法成功地解决最优控制的求解问题。实际上，u（t）一般都是有约束的。当要求u（t）在一个m维的密闭集中取值时，变分法就不再适用了。其次，用变分法求解带有约束的最优控制，有时也是行不通的，因为最优控制往往要求在闭集的边界上取值。极小值原理的突出优

8、点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。虽然最小值原理为解决带有闭集约束的最优控制问题提供了有效的方法，但遗憾的是它只是一个必要条件。动态规划动态规划又称为多级决策理论，是贝尔曼提出的一种非线性规划方法。动态规划的核心是贝尔曼的最优性原理，它将一个多级决策问题化为一系列单极决策问题，从最后一级状态开始到初始状态为止，逆向递推求解最优决策。动态规划法原理简明，适用于计算机求解，在许多理论问题的研究中，都应用到动态规划的思路。④三种方法之间的