张毅作业课最优控制笔记

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1、例1飞船的月球软着陆问题。安全着陆（1）消耗的燃料最小；（2）h=0，vt=0，假设t=0时刻启动软着陆程序，则运动方程为，飞船从初始状态（t=0）实现软着陆，约束条件：飞船消耗燃料最小的目标最终目标：例2导弹拦截问题：指发射火箭拦击敌方洲际导弹或其天航天武器。：L与目标M的相对位置和相对速度：相对加速度：拦截器的质量：推力大小初始条件（）运动方程：拦截器既要控制其推力的大小，又要控制推力的方向。（1）瞬时推力满足成功实现快速拦截，尽可能节约燃料，建立性能指标（目标）例3空对空导弹拦截假设（1）导弹与目标的运动发生在

2、同一水平面内；（2）能产生较大的铅重方向升力以抵消导弹的重量；（3）导弹推力方向与其速度方向一致；（4）目标以定常速度航向飞行。目标的运动方程m是导弹L的质量，F是导弹侧向控制力，c推进器的排出速度，是秒流量，是导弹的阻力因子。导弹的运动方程令，则状态变量状态控制量10/10则状态方程为1一个n维函数向量对数量自变量t的导数。2一个矩阵函数导数也是对其每一个元素，分别求导数。性质：设A，B，C场函数矩阵，数量函数，则有：例1试求对t的导数，是n维函数向量，是对称常数矩阵。解：（注意：）例2证明，设，。证明：利用和。1

3、设是以向量为自变量的数量函数，是n维列向量，则-------可用来求梯度：2设为m向量函数，且x为n维列向量，则，性质：，，，实用等式矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3设为函数矩阵，x为n维列向量变量，即，，，10/10，注：一般，学会区分。例1求数量函数在及的梯度。解：设，例2若是m维常列向量，是关于x的m维列向量函数，根据前面的公式例3已知x是n维列向量，A为维常数矩阵，试求。解：，其中是n维列向量，则行向量可表示为：故例4求二次型对向量自变量x的导数。解：1设为数量函数，为矩阵，则（为常数）2设为l维列向量函数，为矩阵，

4、则3设为维矩阵，为矩阵变量，则，例1设x是n维列向量，y是m维列向量，为矩阵，试求导数。10/101设，（为数量函数，为关于的向量函数，为数量自变量），则。2设，，则。3设，则4设，则，5设，则，例1求函数向量对的导数，其中是常量列向量，是列向量。解：例2求的导数，其中是常数矩阵，是常数矩阵，是维常向量。解：设，则是的复合函数方法：函数的无条件极值拉格朗日乘数法库恩-塔克尔（Kuhn-Tucker）定理聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（1）函数的无条件极值假设多元函数，设法求，使在达到最小值。，（条件1）函数在取得相对极小值的

5、充要条件：10/10例1对于给定的二次函数，其中是对称常数矩阵，那么，求极小值点。例2如果，求极值点。（2）拉格朗日乘子法设连续可微的标量函数为，约束条件为，其中，，，求使标量函数为最小的控制向量。方法：先设拉格朗日函数，其拉格朗日乘子，则取得最小值的充分条件：，其中，，，，，，，，，。例1求函数满足约束条件的极小值。解：拉日函数：为了检验驻点是否为极小值，试求出。将代入判定式中得因此驻点是极小值。例2求满足约束，且使函数最小的，其中和均为标量，a，b，c均为正的常数。解：验证是否为最小值。代入（3）库恩—塔克尔（K

6、uhn-Tucker）定理设函数连续可微，在连续可微的不等式，的约束下在处取得极小值的必要条件为，其中，，。例1求满足下列约束下求函数的极小值。10/10解：（1）在两个约束的边界之内求解，成立，，。两个约束边界之内求解：令满足解得，不是最小解。两个约束边界之上求解：令满足满足成立，，解出不满足。在第一个约束边界之内，一个边界之上求解：令满足条件，不能用。在第一个约束边界之上，一个边界之内求解：令满足条件，10/101、变分法的基本概念它规定了A，B两点之间曲线的弧长等于（1）2、泛函的定义某一类函数均有一个确定的数

7、与之对应，称为依赖于函数的泛函，记作为自变量（宗量），为的函数3、容许函数类（空间）4、泛函的表示方法（2）求泛函的极大/极小值问题称为变分问题，求泛函极值的方法称为变分法，泛函的宗量（自变量）是函数的整体，可将泛函表示为。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。5、泛函的极值泛函的极值与函数极值的比较：函数的相对极小值点，。泛函的极值，泛函在曲线上达到极小值。6、两个函数自变量（宗量）不同意义上的接近很小时，称为零阶接近度的接近。满足称为一阶接近。（3）（4）泛函极值定义：强相对极小—，由（3）式决定；弱相对极小—，又（4）式决定。

8、7、泛函的连续性自变量距离很小时，在处8、线性泛函、连续泛函如果满足两个条件：9、泛函的变分（1）泛函数的变分与函数的微分的区别：函数的微分，泛函的变分，若连续泛函的增量可以表示为泛函的变分引理：泛函的变分，证明：由线性关系：例1求泛函的变分。10/10定理：若可微泛函在上达到极小（大）值，则在上有。二、欧拉方程1、古典变分学的三个基本问题拉格