等差数列前n项和与第n项关系.doc

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1、等差数列中Sn与an间的重要关系及其应用“设Sn、an分别是等差数列｛an｝的前n和与通项，则它们之间有如下的重要关系：Sn=（kn）an，其中k是非零实数，n是正整数。”我们知道，等差数列｛an｝的前n和Sn、通项an分别有如下的表达式：⑴Sn=na1-d，其可等价变形为Sn=n2+(a1-)n，它是关于n的二次函数且不含常数项，一般形式是：Sn=An2+Bn，其中A、B是非零待定系数；⑵an=a1+（n-1）d，其可等价变形为an=dn+（a1-d），它是关于n的一次函数，一般形式是：an=an+b，其中a

2、、b是非零待定系数；通过对等差数列｛an｝前n和Sn的一般形式Sn=An2+Bn与其通项an的一般形式an=an+b的观察分析，不难得出Sn与an之间有这样的重要关系式：Sn=（kn）an。Sn与an相互关系的应用举例：例1有两个等差数列｛an｝、｛bn｝，其前n和分别为Sn、Tn，并且=,求:⑴的值；⑵的值分析:由等差数列可知,其前n项和是关于n的二次函数且不含常数项；根据已知条件,两个等差数列前n项和的比的结果是关于n的一次因式,说明它们在相比的过程中约去了一个共同的因式kn，于是，我们只要将其还原，即可得

3、到两个等差数列的前n项和，再对照等差数列前n项和的二次函数形式：Sn=n2+(a1-)n，很快便可得到其首项、公差与通项，进而由等差数列通项公式求出数列中的任意一项。解：===，于是我们便得到两个等差数列{a}{b}的前n项和分别是Sn=7kn+2kn,Tn=kn+3kn。设等差数列｛an｝、｛bn｝的公差分别是d、d。根据等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数且不含常数项，即Sn=n2+(a1-)n，于是相互对照比较便得：①=7k且a1-=2k，解之得a=9k，d=14k，从而有a=65k；②=k且b-=3

4、k，解之得b=4k，d=2k，从而有b=12k，b=24k。因此，==；==。例2已知等差数列{a}的前项和S满足条件：S=2n+3n，求此等差数列的通项a解:根据等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数且不含常数项,即Sn=n2+(a1-)n,并结合已知条件等差数列{a}的前项和S=2n+3n立有,=2且a1-=3,解之得a=5，d=4，于是便得所求等差数列的通项a=4n+1.练习:⒈有两个等差数列｛an｝、｛bn｝，其前n和分别为Sn、Tn，并且=,求:⑴的值；⑵的值.⒉已知等差数列{a}的前项和S满足条件

5、：S=5n-2n，求此等差数列的通项a。